清華AI數學家系統攻克均勻化理論難題！人機協同完成17頁嚴謹證明

清華AIR團隊 投稿
量子位 | 公眾號 QbitAI

當AI不再只是解題機器，而能與人類并肩完成嚴謹的科研證明，這意味著什么？

清華大學科研團隊以自主研發的AI數學家系統（AIM）為協作伙伴，通過人機交互的模式成功解決了一項均勻化理論研究問題，形成約17頁數學證明。

該成果系統性驗證了AI從“數學解題工具”升級為“科研協作伙伴”的可行性，為復雜數學問題的突破提供了新路徑。

這一突破，也讓AI真正踏入了“原創科研”的核心地帶，為未來數學發現的方式打開了新的想象空間。

數學研究的“AI困境”

近年來，AI在數學領域的表現屢獲突破：

• Gemini憑借Deep Think技術達到國際數學奧林匹克（IMO 2025）金牌水平；
• o4-mini模型在專家級數學基準測試FrontierMath中超越人類平均團隊表現；
• GPT-5-Thinking協助研究者解決了量子計算領域的難題。

然而，這些成果多集中在“短時間、標準化”的競賽類任務中，與真實數學研究的需求存在巨大鴻溝。

當前主流AI系統在數學研究中存在明顯局限：FunSearch、AlphaEvolve等依賴問題的程序化表述，僅適用于部分數學領域；AlphaGeometry系列則聚焦幾何推理，難以覆蓋更廣泛的數學分支。

即便部分AI能提供碎片化見解，完整證明的構建與驗證仍需依賴人類，難以真正融入研究全流程。

該研究的核心目標正是打破這一困境，通過構建“人類分析+AI推導”的協同范式，讓AI的推理能力與人類的邏輯分析能力、知識經驗儲備形成互補，共同攻克單一主體難以突破的復雜數學難題。

五大模式為AI輔助數學研究提供“操作指南”

均勻化理論是連接材料科學、流體力學與數學的核心橋梁，其核心是分析異質材料微觀結構變化對宏觀力學行為的影響。

本研究聚焦的具體問題為：當周期性分布的流體夾雜尺度趨近于零（ε→0）時，如何推導耦合Stokes-Lamé系統的極限均勻化方程，并嚴格證明原解與極限解的誤差估計。

該問題來源于真實數學研究，具有顯著挑戰性。

最終，團隊通過人機協同不僅得出極限方程，更精確證明了誤差階數 α=1/2，形成約17頁數學證明。

△Stokes-Lamé系統

具體來看，團隊在人機協同模式下，通過對實驗結果的迭代分析，將原問題拆解為六個子問題（見下圖），通過系統性的人機協同工作對六個子問題進行各個擊破，最終在此基礎上獲得原問題的完整證明。

AIM系統在幾個最困難子問題的證明過程中作出非平凡貢獻。

△子問題拆解及人機分工

在研究過程中，團隊并非簡單“使用AI”，而是系統性總結出了五大高效人機交互模式，為數學家運用AI開展研究提供了可復用、可推廣的實踐框架：

1、直接提示（Direct Prompting）

通過“定理提示”（提供關鍵定理及適用條件）、“概念引導”（明確證明框架與策略方向）、“細節優化”（校準符號定義與局部推導錯誤），引導AIM聚焦核心推理路徑，減少無效探索。

例如，在“Cell Problem”的分析中，人類專家向AIM提供了相關理論方法的輔助引理，使其推理錨定在嚴謹的數學基礎上，避免邏輯偏離。

2、理論協同應用（Theory-Coordinated Application）

將某一數學分支的完整理論體系（定義、引理、推理規則）打包為“知識包”提供給AIM，使其在預設理論框架內開展多步驟連貫推導。

在證明“Cell Problem”的正則性時，人類專家提供了“Schauder Theory”的全套核心引理，AIM據此逐步推導，最終得出符合預期的結論，展現出對復雜理論體系的應用能力。

3、交互式迭代優化（Interactive Iterative Refinement）

遵循“AI輸出→人類診斷→反饋修正→AI再推理→…”的循環，逐步完善證明鏈條。

在誤差估計階段，人類專家發現AIM的證明存在邏輯缺口后，通過對問題本身和實驗結果的分析，拆分了多個中間問題，最終讓AIM自主修正證明結論，形成完整推理鏈。

4、明確運用邊界（Applicability Boundary and Exclusive Domain）

針對AIM當前難以勝任的任務（如復雜幾何構型構建、多尺度符號推理），由人類主導完成，避免資源浪費。

例如，“雙尺度展開”需精準處理x、y雙尺度變量的導數分解，AIM易出現符號混淆，人類專家通過手動推導確保這一基礎環節的正確性，為后續AI推導掃清障礙。

5、輔助優化策略（Auxiliary Optimization）

通過多輪嘗試篩選最優證明（如利用LLM的輸出隨機性）、提供目標結論約束推理方向（如明確誤差估計的預期形式）、根據任務類型選擇適配模型（如o4-mini擅長框架構建，DeepSeek-R1擅長細節推導），進一步提升AI輸出的可靠性與效率。

舉例來看，在“Regularity of Cell Problem”這一子問題的證明過程中，人類專家明確引入了來自Schauder Theory的輔助引理，并將這些引理作為提示信息提供給AIM。

△人類專家將Schauder Theory的輔助引理提供給AIM

通過這種方式，人類專家引導AIM在推導后續結論時運用這些引理，從而有效構建并約束其推理過程，使其朝著得出有效且完整的論證方向推進。

在該提示的引導下，AIM的輸出結果表明，其能主動且恰當地整合提示中包含的信息，并執行正確的推導流程。

△AIM輸出結果

17頁證明背后的三重突破

本研究并非局限于單一問題的解決，更在理論范式、實踐驗證與方法指導三方面取得突破，為數學研究與AI的深度融合提供基礎。

價值一：驗證人機協同數學研究范式

團隊深度驗證“人類引導+AI推理”的協同研究模式，將AI的推理能力與人類數學工作者的知識經驗和邏輯推理系統性融合。

這種協作模式，拓寬了數學工作者的能力邊界，也進一步提高了AI證明數學理論的實驗表現。

價值二：攻克均勻化理論難題

團隊給出了這項均勻化問題的長達17頁的完整證明。

該證明的很大一部分內容由AI生成，其在整個證明過程中做出了非平凡貢獻，充分體現了人機協同范式在解決復雜、研究級數學問題方面的潛力。

價值三：系統梳理交互模式

團隊對人機交互模式進行了系統化梳理，并提煉出具有實證價值的見解。

這些見解可為未來人工智能輔助數學研究框架的設計提供參考，同時也能為希望在自身研究中利用AI的數學家提供實際參考意見，幫助數學工作者快速掌握與AI的協作研究，加速AI與數學科研的融合落地。

從協同到自主：AI數學研究的下一階段目標

AI在數學研究中的比較優勢體現在基于現有理論的分析、搜索與適配方面，例如自動拆解問題、梳理文獻、優化已知方法等。

與之相對，數學理論的核心突破當前仍依賴于人類的原始直覺與抽象思維能力，如提出新概念、構建新框架、設計新的證明范式等，以解決長期懸而未決的難題。

由于這類突破對嚴謹性要求極高，而當前AI存在幻覺輸出（生成看似合理卻錯誤的內容）與置信度誤判（對錯誤結論過度自信）等問題，因此完全自主的AI證明目前仍無法實現，分步的人工驗證仍是必不可少的環節。

基于現有研究發現，團隊提出了未來研究的兩個重要方向：

深化并系統化人機交互模式

團隊已提煉出一套能顯著加速數學理論進展、拓展研究者能力邊界的交互模式。

下一步，團隊將研究這些模式能否遷移到其他數學領域，以及能否針對特定領域需求設計更豐富、更高效的交互模式。

同時，團隊將從多個維度對人機交互框架進行系統化構建，包括但不限于問題拆解、過程監督、誤差修正、定理引用及依賴管理。

這需要基于大量實驗分析制定嚴格的分類標準，并明確交互模式效果等信息，以確保所構建系統的嚴謹性。

基于交互反饋優化AIM系統

團隊的長期研究目標是實現數學定理證明的自動化，因此AIM系統架構的迭代優化既關鍵又具內在挑戰性。

通過人機協同的定理證明實驗，團隊已明確智能體擅長的任務類型與存在困難的任務類型。這些積累的見解為系統設計的后續迭代提供了依據。

團隊將以這些不足為出發點，嘗試提出訓練方法以提升模型的推理能力，進而改善實驗表現，從而增強大型語言模型在數學理論研究領域的能力。

論文鏈接：
https://arxiv.org/abs/2510.26380