矩陣力學與波力學的等價性問題（下）

|作 者：曹則賢

(中國科學院物理研究所)

本文選自《物理》2025年第11期

（ 接54卷第10期 ）

3 泡利的等價性證明

泡利的等價性證明，見于1926年4月12日泡利至約當的一封信里[B. L. van der Waerden, From Matrix Mechanics and Wave Mechanics to Unified Quantum Mechanics, in Jagdish Mehra (ed.),

The Physicist's Conception of Nature

, Reidel (1973) pp.276—293]。這封信1973年才被發現。信不長，略述如下。

親愛的約當，

…薛定諤的這個工作可說是最有意義的(diese Arbeit mit zu dem Bedeutendsten z?hlt),請您懷著敬意仔細地讀它(Lesen Sie sie sorgf?ltig und mit Andacht)。自然要問的是，他的結果如何同哥廷恩力學(G?ttinger Mechanik)相聯系。這個聯系我現在覺得想清楚了。由薛定諤的預設所得的能量總是與哥廷恩力學的相同，且由描述本征振動的薛定諤函數

可以簡單、一般的方式構造滿足哥廷恩力學的矩陣。與此同時，在哥廷恩力學和愛因斯坦—德布羅意的輻射場之間建立起了相當深刻的聯系。

先略述薛定諤的預設。根據愛因斯坦和德布羅意{原文如此，未知具體指愛因斯坦的哪一篇}一個能量為

E

動量為

P

的運動質點(滿足等式

E

2 -

P

2

c

2=

m

2

c

4)，，可對應一個頻率為

E

h

波長為

h

P

|的振動過程，相速度為{筆者注意到這個波粒二象性的關鍵公式，雖然滿足洛倫茲不變，但物理圖像有問題，因為粒子運動靜止時這個所謂的波有一個很大但有限的頻率但波長卻是無窮大。后來這個能量被改為粒子的動能部分了，但未說明理由，參見《泡利物理學講義》卷五}。這樣，德布羅意輻射場的波方程取形式：

考慮到能量—動量關系，改寫為

一個處于力場中運動的質點，勢能為

E

pot ，能量—動量關系為，代入得：

相速度{通過

E

pot }依賴于位置。

現在可將薛定諤的預設表述為：系統的能量為

E

的量子狀態，當且僅當一個沒有空間奇點的、為時間正弦函數的、頻率為

E

h

的德布羅意駐波根據(C3)式存在時，才是可能的。

將(C3)式中的

作替代，則

，得：

這是個關于可能的取值為

E

hν

的本征值問題。因為計入了電子的靜止能量，這些頻率

是出奇的大( Diese

sind enorm gross, weil in

E

die Ruhenergie des Elektrons mit einbezogen ist){泡利顯然是注意到了這里的問題，但是他的方案沒解決根本問題。物質波理論里有內在矛盾}。頻率條件稱光波形式上為德布羅意輻射的差頻(Differentzt?ne)。作用量子

h

只出現在狀態能量與頻率的對應關系中。

忽略相對論修正{把大頭忽略掉，也不問理論的內在自洽性問題}，即代入
后作近似，由(C4)式得：

這是薛定諤論文里的方程，文章演示了如何從變分原理得到這個方程。周期系統的老量子論與基于預設(C5)的薛定諤量子力學之間的差別，從德布羅意輻射的觀點看來，如同幾何光學與波光學(Wellenoptik)之間的區別。當德布羅意輻射的波長很小時，對方程(C5)引入預設
，若

S

h

是一個大的值，則根據德拜由方程(C5)可得

S

的哈密頓—雅可比微分方程。在這種情形下，只當

S

的周期模(Periodizit?tsmoduln)是2π的整數倍時{原文如此。似乎應是

h

的整數倍}， 才是單值的位置函數。這導致常見的條件，德布羅意本人從他的輻射場的幾何光學的觀點詮釋過。但是，實際上一般來說

S

h

的值不大，必須保留方程(C5)，并將波的相關數學用于該方程的積分。

現在說說薛定諤力學與哥廷恩力學的聯系。為了簡單起見，以一維問題為例，波方程(符號上的杠都去掉了)為
。若本征值為

E

1 ,

E

2, …,

E

n, …，對應的完備本征函數集為

1,

2, …,

n, …，{原文如此。應該是}。

關于

的任意函數可以用

n 展開。比如，展開函數

xψ

n，

進一步地，

可見有

nm =

mn是實的，而(

p

x)nm=-(

p

x)mn是純虛的{原文如此}。如此定義的矩陣滿足哥廷恩力學的方程：

對于任意的函數

F

(x)，可分派一個矩陣 =

振子和轉子的情形我也根據薛定諤做了計算。此外，還有塞曼分量強度的H?nl—Kronig公式，從薛定諤計算得到的氫原子本征函數計算躍遷概率，連續譜問題，等等。連續譜很復雜，其數學表述我還不清楚。蘭佐施的工作與我的思考幾無交點。他考察的問題里的本征值是能量本征值的倒數，而這里的本征值就是能量本征值。此外，在他那里一個類似依賴于兩點的格林函數的函數扮演著重要角色，這樣的函數不會進到這里的討論。我相信，蘭佐施的預設沒啥用{泡利此處看走眼了}。

注意，(I)，(II)中沒有出現未定的相因子，是因為(C3)式到(C4)式中的替代
，形式上

nm ，(

p

x)nm除了ei2π(

E

n

E

m

t

h

以外，還有一個相因子ei2π(

m

n

)，其中

m-

n屬于能量為

E

m,

E

n的德布羅意本征振蕩的相位。量子問題的哥廷恩表述和薛定諤表述都沒有提供對原子中電子運動的時空描述。不過，如今從兩個不同的側面看問題，也是個進步(Aber es ist doch ein Fortschritt, die Probleme jetzt von zwei verschiedenen Seiten aus zu sehen)。從量子力學的觀點看來，似乎運動質點與波體系的對立也讓位于某種一般性的觀念(Man sieht wohl auch, wie von Standpunkt der Quantenmechanik aus der Gegensatz zwischen bewegtem Punkt und Wellensystem zu Gunsten von etwas Allgemeinerem verblasst)。

4艾卡特的等價性證明

美國物理學家艾卡特(Carl Eckart，1902—1973)在1926年6月7日提交了一篇題為“算符運算與量子動力學運動方程的解”的論文[Carl Eckart, Operator Calculus and the Solution of the Equations of Motion of Quantum Dynamic,

Physical Review

28, 711 — 726(1926)]。在文章 校對的時候，薛定諤論等價性的論文傳到了美國，故作者說文中的結果已經由薛定諤獨立得到了。作者在后 注中說，他同意波力學比矩陣力學更加基礎的( wave mechanics is more fundamental than the matrix mechanics )觀點，而本文的結論為“波力學和矩陣力學是數學上等同的(mathematically identical)”。具體地，文章得出兩個重要結論：

(1)經典的動力學方程可以寫成算符形式；

(2)經典理論的算符運算被推廣并應用到解量子動力學上。薛定諤的結果和玻恩—約當的結果被包括進同一個計算，發展了計算玻恩—約當矩陣的方法。

此文發展和詳細解釋了算符運算，為物理假設的數學步驟提供了合理性，特別是對經典動力學到量子動力學的過渡描述得非常清楚。欲弄懂量子動力學算符運算的讀者，可以仔細研讀這篇文章。特別地，文中的一些表示，比如波函數在分母上，，在別處不易見到(圖1)。由于本文是英文的，也容易獲取，此處不詳細摘錄。

圖1　艾卡特1926年論文第720頁上的截圖

5狄拉克的等價性證明

狄拉克的“量子力學理論”[P. A. M. Dirac, On the theory of quantum mechanics,

Proceedings of the Royal Society of London

A112(762), 661—667(1926),收稿日期為1926年8月26日]一文也被認為有關于兩種量子力學等價性的證明。

[內容摘錄]

海森堡的新原子力學描述動力學系統的變量不遵從乘法的交換律，但滿足某種量子條件。只需知道動力學變量需滿足的代數律，就可以構造一個理論，可以表明只要動力學系統存在一個一致化變量集(a set of uniformizing variables)，動力學變量就可以表示為矩陣。但是對于包含超過一個電子的系統，沒有一致化變量集。

最近薛定諤發展了一個新理論。其思想是，原子系統由在坐標空間中的波表示，薛定諤從變分原理得到了波函數

必須滿足的微分方程。這個微分方程同確定這個系統的哈密頓方程有密切聯系。如果

H

q

r ,

p

r )-

W

=0是系統的哈密頓方程，則波方程為

其中的算符
替代

H

中的

p

r ，作用到它所在項中在它右側的一切對象上。使得在

q

-空間上滿足方程(D1)的連續、單值、有界的

存在的

W

為系統的能級。當方程(D1)的一般解已知，容易得到表示

q

r

p

r

的矩陣，其滿足海森堡的矩陣力學要求必須滿足的所有條件(satisfying all the conditions that they have to satisfy according to Heisenberg’s matrix mechanics)，與此前得到的能級一致。兩個理論的數學等價性得以建立(The mathematical equivalence of the theories is thus established)。

薛定諤的理論可以從一個略微更加一般性的觀點考慮，將時間

t

和它的共軛動量

W

從一開始就與其他變量同樣對待{經典力學的常規操作}。借助一個更一般的方法，只需要基本的符號代數( requiring only elementary symbolic algebra )，就能得到動力學變量的矩陣表示。

將坐標

q

t

看作普通的數學變量(這是允許的，因為它們對易)，將動量

p

W

作替換：

算符作用到它們出現的項中右側的所有對象上，故

p

q

w

t

的函數實際上只是

q

t

的函數。

對關系(D2)在支配動力學變量的代數中需要作兩點改動。(1)只有

p

w

的有理積分函數(rational integral function)才是有意義的；(2)可以對一個方程從左側乘上一個因子，但一般來說從右側不行。

但是有一些方程

a

b

aX

bX

對所有的

X

都成立，這樣的方程是恒等式(identity)。量子條件

q

r

p

s-

p

s

q

r=

ihδ

rs，

p

r

p

s-

p

s

p

r=0就是恒等式。若方程

a

b

是恒等式，則泊松括號[

a, X

b, X

]也成立。我們假設一般方程

xy

yx

=i

h

x, y

]{這是狄拉克對量子力學的一個重要貢獻}和動力學系統的運動方程都是恒等式。

一個動力學系統由關于變量的哈密頓方程來確定：

或者更一般地，方程可寫為

運動方程為
，其中

是關于動力學變量的任意函數，而

s

是個依賴于(D4)式之形式的變量；若(D4)式寫成(D3)式的形式，這個

s

就是

t

。在薛定諤的新理論那里，考慮方程：

如果

只是

q, t

的函數，方程(D5)就是個關于

的普通微分方程。從這個微分方程的解，那些構成力學問題的解的矩陣就可以輕松獲得。

線性方程(D5)的通解為

其中

n

是一組獨立的解，可稱為本征函數。有時候，本征函數可以是關于某個參數

的連續集，則(D6)要由積分替代，有時候是既有分立的部分也有連續的部分{狄拉克在處理這個問題時過于倉促。求和變成積分時會帶來波函數量綱的變化，考慮到波函數物理意義的詮釋，對這個問題是不能含糊的。參見}。

動力學系統的任何積分常數都可以表示為其某一行或者某一列對應一個

n

的矩陣。若

a

是某個積分常數，即

Fa

aF

。這樣，可得

Fa

n

aF

n

=0，也就是說，

a

n

也是方程(D5)的一個解，因此有{注意這個乘法的寫法}，其中

a

mn是常數。量

a

mn就是表示

a

的矩陣的矩陣元。顯然有矩陣乘法規則：

以某個

p

q

w

t

的函數

t

t

0 的值

t

0 )為例,表示

t

0 )的矩陣，其矩陣元都是

t

0 的函數。將

t

0 寫成

t

，可見任意的動力學變量

t

)的函數，都可以表示為一個矩陣元只是

t

的函數的矩陣。

我們得到的矩陣不是唯一的，任何獨立本征函數集

n

都可以用來構造矩陣。為了得到海森堡的原裝矩陣力學(Heisenberg’s original quantum mechanics)的矩陣，應該挑選特殊的

n 。借助線性變換，動力學系統的任何給定積分常數的表示矩陣都可以弄成對角的。若哈密頓函數

F

不顯含時間

t

，則

W

是系統的一個常數，即能量，我們可以選擇使得表示

W

的矩陣是對角的，即：

是不顯含時間

t

的動力學變量的函數，

必為

的形式，因為

與此同時，

不顯含

t

將(D9)—(D10)式右側取等，
，可解得(D8)式。

如此選擇

n

，則矩陣滿足海森堡矩陣力學的所有條件，除了表示實的量的矩陣應是厄米的這一條。沒有簡單的一般性證明，因為證明不得不用到

n

是有界的這個事實。作為特例，容易證明表示

W

的矩陣是厄米的，因為根據(D7)式

n

必有形式，其中

u

n不依賴于

t

W

n必是實的，否則

n

就不是有界的。一般來說，僅當乘上

n

的那個任意數值因子是特別選擇的時候，表示實的量的矩陣才是厄米的。

我們可以認為本征函數

n 聯系著系統之某些積分常數的確定數值，

aψ

n=

a

n

n，

bψ

n=

b

n

n，…意味著

n表示系統的一個量

a

b

，…分別有數值

a

n，

b

n，…的一個狀態。以這種方式，我們可 以得到表示原子系統擁有確定的能量、角動量以及別的積分常數值的穩態的本征函數(In this way we can have eigenfunctions representing stationary states of an atomic system with definite values for the energy, angular momentum, and other constants of integration)。

筆者忍不住加一句：狄拉克的文章總是那么清晰。如果讀狄拉克的文章還學不會量子力學，可能就沒有別的著作能幫得上忙了。

6福勒的等價性論述

福勒(Ralph Howard Fowler，1889—1944)在物理教科書里可能不算特別有名，但他的幾位學生如錢德拉塞卡(Subrahmanyan Chandrasekhar，1910—1995)，狄拉克，哈垂(Douglas Rayner Hartree，1897—1958)，萊納德-瓊斯(John Lennard-Jones，1894—1954)，莫特(Nevill Francis Mott，1905—1996)可都是如雷貫耳的名字。對于我們中國學生來說，福勒著名學生的名單還包括王竹溪先生(1911—1983)。狄拉克是第一位量子力學博士，但他是憑借自己對創立量子力學的貢獻而成為第一個量子力學博士的，與導師福勒之間只有很薄弱的學術聯系。但是，福勒的深厚的物理學功底不可能對量子力學視而不見。1927年的福勒的“矩陣力學與波力學”[R. H. Fowler, Matrix and Wave mechanics,

Nature

119, 239—241(1927)]一文對于理解量子力學也極具參考價值。

[內容摘錄]

我在上篇文章[R. H. Fowler, Spinning electron,

Nature

119, 90—92 (1927)] 中指出，近期原子物理的進展是由于有：(1)一個更好的電子模型；(2)一個比經典力學更適合描述原子現象的形式力學(formal mechanics)。兩條獨立的思路導出了同一個力學體系，但由于走的是完全岔開的路徑故它們分別被名為矩陣力學和波力學。兩個體系的等價性也許是當前發展之最令人驚奇而又令人滿意的特征。

原子真正基本的特征(really fundamental features)是玻爾的兩個公設，即存在穩態和頻率關系

E

1 -

E

2 =

hν

12 ，這其中第一個是最基本的，它帶來了力學規律的特別變革。為了描述原子與輻射間的相互作用我們必須認可(幾乎與具體的理論無關)：(1)一個穩態的集合；(2)一個穩態間的關聯(躍遷概率)的集合。碰撞問題也可納入同樣的方案。遵循經典動力學的粒子體系里沒有分立的穩態(discrete stationary states)。玻爾用第三公設

J

i

n

i

h

暫時應付，取得了極大成功。不過，玻爾的穩態公設無法解決躍遷概率的問題，只能偶爾地借助對應原理。躍遷概率本質上是兩個態之間的關聯，可是經典運動的所有特征都是單一狀態的函數(Transition probabilities are essentially connexions between two states, whereas all the characteristics of a classical motion are functions of the one state alone)。在任何(多周期)狀態的經典系統，可以用一個傅里葉級數完全描述，其系數及其基頻是定義狀態之參數的函數。原子卻不能這樣描述，描述原子的系數必總是兩個狀態的函數。也就是說，(傅里葉級數中的)周期性項(periodic terms)排成的矩陣或曰二維陣列才是描述原子所要求的。矩陣的項依賴于兩個整數

m

n

，其聯系著原子的兩個狀態。

矩陣的乘法可能是非對易的。這些乘積之差準確地提供了量子理論廁身其間必要的代數學空隙(The difference between these products provides exactly the necessary gap in the algebra into which the quantum theory can insert itself)。

那么，可否構想出一個矩陣的動力學，其為經典動力學的自然推廣且以經典動力學為其極限，還能給出計算任何相關矩陣之矩陣元的規則，類似計算傅里葉級數項的經典規則？這相當于要求，一切都要從哈密頓方程——利用經典規則的推廣——直接地、毫不含糊地計算得到。老量子論的量子條件退出舞臺，普朗克常數通過對易關系
進入方程。

前述關于矩陣力學之需求的描述表明其構造有直接的物理對應，矩陣的每一項都表示確實可觀測的事物(its constructs have direct physical counterparts. Every term in a matrix represents something ideally observable)。原子發射、吸收或散射的光之頻率與強度是可觀測的，但老量子論中的力學軌道不是。可觀測性是海森堡理論的關鍵思想。應該停止試圖詮釋經典計算的結果，而應該重新表述運動方程，使其每一個符號都有物理意義(we should stop trying to interpret the results of classical calculations and instead should reformulate the equations of the motion, and reformulate in such a way that every symbol has a physical meaning…)。物理意義不再局限于對最終結果的詮釋(Physical meaning is no longer to be confined to interpretations of the final result)。海森堡的思想迅速導致了矩陣力學的構造{玻恩和約當構造的}。

薛定諤的波力學完全是另一個路數。德布羅意將粒子的自由運動同一簇特殊種類的平面波相類比。薛定諤更加仔細地分析了力學同光學之間的類比，此乃哈密頓力學的基礎。哈密頓那里類比的是粒子的路徑與光的射線，但光的傳播理論分為光的射線理論(ray theory of light)和物理光學的波理論(wave theory of physical optics)。薛定諤構造了光學波理論的類比——波力學。

在粒子的波理論中，還保留粒子圖像中的勢能

V

和質量

m

{所以您看哪有什么截然分開的粒子圖像與波圖像}。粒子的運動可由通常的波方程導出，其中

是頻率，

u

是波的相速度。波函數

及其算符是定義在構型空間上的。哈密頓類比(Hamiltonian analogy)要求如下關系{不明白后一個關系哪來的，量綱也不對}，作用量

h

這個普適常數如此進入類比，至于其是否是普朗克常數以后再說。這樣，方程變為

波函數

必須滿足連續性條件和邊界條件，若其表示原子的穩態自然應該還是單值的、有界的、在整個構型空間上二階可微的，以及在無窮遠處為0。

至此尚未提及分立狀態。任何讓恰當的

存在的

E

值都是允許的。薛定諤理論最漂亮的地方是，一般來說，恰當的

只對一組分立的

E

n ，當然或許還連同一個連續范圍的

E

值才存在。分立的

E

n是各個穩態的能量，相應的

n是穩態的波函數，后者確定原子的行為。

最簡單的例子是一維諧振子，方程為

{原文缺少第二個

m

}，其中

是振子的經典頻率。能量最小值為，對應的波函數為，能量的通式表達為，對應的波函數

n 有

n

個有限節點，因此原子振動的波長隨著

n

的增加而變短{這話不對，對于任意的

n

，波函數都沒有確定的波長}。對于初始的一些

E

n很難談論軌道和點電子。

很難想象比矩陣力學和波力學在觀念上(in conception)更不同的兩個結構了，它們相同地方只在于都是經典力學的推廣，保留經典力學作為極限。薛定諤提出一個物理類比，或許可以表明它們的聯系。設想有一個密度可變的伸展的弦，波力學確定了其可能的振動的節點，而矩陣力學是直接決定這些節點。兩個方案看似都是在穩態的能量上做了已知事實要求的改變，但兩者的聯系是深刻的，且幾乎是完全等價的。波力學所作的改變是等價于從常規的哈密頓方程

H

q, p

E

=0為波函數

導出方程：

而不是為主函數

S

導出哈密頓—雅可比方程。這樣，變量

p

變成了微分算符。矩陣力學里的對易規則用算符計算來表示則為，顯然是滿足的。薛定諤已經演示了如何從一個波函數完備集

n 得到一 個確定的在矩陣力學中解決同樣問題的矩陣集。反過來是否成立還不確定，目前看來存在在波力學中未予表示的矩陣解是有可能的。事情出在剛性對稱螺旋的例子，矩陣力學解對整數和半整數的量子數都是有可能的，而波力學中只有整量子數是允許的{此問題的矩陣力學版，David M. Dennison, The Rotation of Molecules,

Phys. Rev.

, 28, 318 (1926)；波力學版，Fritz Reiche, Die Quantelung des symmetrischen Kreisels nach Schr?dingers Undulationsmechanik (根據薛定諤波力學對對稱陀螺的量子化),

Zeitschrift für Physik

39, 444—446 (1926)； P. Debye, C. Manneback, The symmetrical top in wave mechanics,

Nature

119，83(1926)一文也應該被注意}}。

談論哪種新的力學形式是更基本的，可能沒有意義。大多數的工作者(the majority of workers)會發現因為波力學的代數更熟悉、更便利，因此是解決特定問題更加有效的工具。目前，兩種理論在完全解決的案例中都精確地給出了對量子數的那些事實已強迫我們做出了改變。但是，波力學走得更遠。它已經能讓我們成功對付老量子論都不能正確地定性描述的問題，比如中性氦的高階譜項，氫分子正離子的譜項。海森堡計算的正氦和仲氦(ortho-and par-helium)的高階譜項取得了突出進展。此外，玻恩與奧本海默已著手建立碰撞和非周期軌道的量子論。{玻恩和海森堡作為矩陣力學的奠基人，此處他們都是用的波力學。}

無論新力學多么抽象，無論我們對其基本原理的理解多么不全面，它對理論物理的價值都不容低估。我們終于有了一種適用于任何原子的普適的動力學方法，能夠通過直接計算得到任何所需的結果。我們目前還不能指望所有這些結果都是正確的，但我們相信只需要進行一些細微的修改與推廣。

7馮·諾伊曼的等價性證明

對兩種處于初創狀態的量子力學的研究，一要為量子力學奠立堅實的數學基礎，二要努力發展出統一全面的量子力學，這才是正事。這項事業對研究者的數學要求非常高，幸好世上有馮·諾伊曼(John von Neumann,1903—1957)。化工專業畢業的馮·諾伊曼不僅有數學博士學位，最重要的是擁有創造數學的天分。馮·諾伊曼為量子力學奠立了數學基礎，完成了量子力學的公理化。這樣的工作，是希爾伯特和外爾或也可以做，約當、狄拉克和泡利或也可勉強擔當，玻恩可以插手，而薛定諤和海森堡只有表示贊賞或者不屑的份兒。談論兩種量子力學的等價性問題，一般會提到馮·諾伊曼從1927年到1932年期間的幾篇論文以及他的經典著作《量子力學的數學基礎》。

馮·諾伊曼1927年的“量子力學的數學筑基”的一文[John von Neumann, Mathematishce Begründung der Quantenmechanik,

K?nigliche Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, Nachrichten

1—57(1927).收稿日期為1927年5月20日]是馮·諾伊曼談論等價性問題的第一篇，但更應該看作是量子力學已見雛形后為其奠定數學基礎的努力，最后的結果是量子力學的逐步公理化。

[內容摘錄]

海森堡、狄拉克、玻恩、薛定諤和約當的量子力學表示有很多全新的概念構造和問題陳述，對此我們想說：

α.研究表明，原子系統的行為同某個本征值問題相聯系，描述系統的特征量的值是本征值。

β.長期以來找尋的連續的(經典力學的)與分立的(量子化的)表述之間的融合在原子世界以令人滿意的方式達成了：本征值譜既有連續部分也有分立部分。

γ.量子力學傾向于表明，自然規律(或者至少是已知的量子規律)不能唯一、因果地確定原子的行為，基本規律只能給出概率分布，其只在一些特例中才退化至滿足因果律的明確結果(zukausaler Sch?rfe entarten)。

δ.本征值問題以不同的表現形式出現：作為無窮矩陣(變換到對角形式)的以及作為微分方程的本征值問題。兩種表述是等價的，因為當從波函數過渡到它的關于一個完備正交集的展開系數時，矩陣(可看作線性變換)就自微分算符(應用到波函數上)產生了。矩陣表達這個展開系數的相應的變換。

ε.兩種處理方式都各有困難(Beide Behandlungsweisen haben ihre Schwierigkeiten)。在矩陣表示那里面臨一個無解的問題：需將能量矩陣變換成對角形式，但這只當沒有連續譜出現時才是可能的。這意思是它只能是單面的，只能有分立的(量子的)能譜(氫原子有連續譜，就無法正確處理)。可以用連續矩陣，但數學嚴謹地操作起來(本質上同時用矩陣和積分方程核操作)會很困難，為此得構造如無窮大矩陣的矩陣元或無窮接近的鄰近對角元等概念。

ξ.在微分方程表示那里，首先沒有矩陣方法里的概率預設。這一點被玻恩以及后來的泡利和約當給彌補了{玻恩提出波函數的概率詮釋是他早熟悉矩陣的概率預設}，整套程序約當為一個閉合系統構建過，任憑采用那些困難的數學思考{指Pascual Jordan, über eine neue Begründung der Quantenmechanik (關于量子力學的新筑基)，

Zeitschrift für Physik

40, 809—838(1927)一文}無法避免代入不合宜的本征函數，比如狄拉克首先使用的函數

)，其具有如下(荒唐)性質{同馮·諾伊曼、外爾相比，狄拉克的工程數學至少就深度與嚴謹性而言，要差很多}：

約當遭遇的困難是，不僅要計算變換算符(其積分核是概率幅，deren Integral-Kerne die Wahrscheinlichkeits-Amplitude sind)，而且還得計算于其上變換的變量范圍，即本征值譜。

θ.所有這些方法的共同缺陷是，它們在計算中引入了原則上不可觀測的、物理上無意義的元素：波函數要計算，因為歸一化而保留直至一個絕對值為1的常數(相

e

i

)的不確定性，在

k

-重退化時相互間還保留直至一個

k

-維正交變換的不確定性。盡管結果得到的概率是不變的，但這么做卻是不令人滿意的，不明白為什么非要到不可觀測的和不是不變的存在那里去繞個彎兒(es ist aber unbefriedigend und unklar, weshalb der Umweg durch das nicht-beobachtbare und nicht-invariante notwendig ist)。

在接下來的正文里，馮·諾伊曼不是著眼于比較兩種量子力學是否等價，而是專心發展量子力學所需的數學基礎——他其后的幾個工作的重心皆在于此，最后的結晶是他的經典著作《量子力學的數學基礎》(也請參見本系列的馮·諾伊曼篇)，此處不作深入介紹。

馮·諾伊曼的“量子力學的概率論構造”的一文[John von Neumann, Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik,

K?nigliche Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, Nachrichten

245—272(1927).收稿日期為1927年11月11日]也是談論等價性問題時必會被提及的。在導言部分，確有關于兩種量子力學的關系的討論。

[內容摘錄]

量子力學的新進展帶來了兩種原則上不同的表示方式，分別被稱為波理論和變換或者統計理論(Wellentheorie und Transformations- oder Statistische Theorie)，后者是由玻恩、泡利和倫敦所開啟的，由狄拉克和約當收尾的{請注意，馮·諾伊曼這里把矩陣力學稱為變換理論或者統計理論，并注意到了Fritz London的貢獻。筆者猜指的是über die Jacobischen Transformationen der Quantenmechanik (論量子力學的雅可比變換)，

Zeitschrift für Physik

37,915—925(1926)一文。Fritz London對波動力學也有貢獻。不過，馮·諾伊曼不用矩陣力學的說法，也不提海森堡，可能是他認為將1926年后的變換理論稱為矩陣力學不合適。筆者此時有個冒昧的觀點，所謂的矩陣力學只有不足兩年的短暫壽命！}。

給定一個物理系統的某個物理量，它該取什么值？這些值的先驗概率是什么？若某個其他的量的值事先給定了，那這些概率又如何改變？

此問題在經典力學那里也不陌生，不過在那里統計可以是“明確的”，即每一個物理量都以概率1取某些值，所有其他的值的概率為0。對此只需要測量足夠多的量，對一個自由度為

f

的系統，只有2

f

個獨立的量(比如位置加共軛動量)。在量子力學中卻不是這樣，有些量就不可以同時測量，比如一個量及其共軛動量的測量就總是不相容的(stets unvertr?glich)。

統計量子力學中(in der statistischen Quantenmechanik)至今常見的方法本質上是演繹的：波函數的某個展開系數的絕對值平方，或者還有波函數本身，相當教條地被當作概率，其與經驗是否吻合留與以后驗證。自經驗事實或者概率論的基礎假設出發對量子力學的系統推導，即歸納式的建立基礎(inductive Begündung)，卻是沒有的。此外，其基本規律(概率計算的加法與乘法)的有效性也沒有充分闡明。

在接下來的正文里，馮·諾伊曼闡述了量子力學概率的基本假設以及測量與狀態的問題，相關內容后來都收錄于《量子力學的數學基礎》一書中(也請參見本系列的馮·諾伊曼篇)，此處不作深入介紹。

馮·諾伊曼關于“薛定諤算符的唯一性”一文[John von Neumann, Die Eindeutigkeit der Schr?dingerschen Operatoren,

Mathematische Annalen

104, 570—578(1931).收稿日期為1930年8月31日]觸及了量子力學表示的底層數學問題(圖2)。到了這個時候，量子力學就是量子力學，波理論和矩陣代數都是其有機組成部分。這篇文章提供了理解波理論和矩陣力學之等價性所需的深刻數學，此處予以詳細介紹。

圖2　馮·諾依曼1931年論文，“薛定諤算符的唯一性，柏林的馮·諾依曼供稿”

[內容摘錄]

所謂的對易關系PQ-QP=-i?1，Q是坐標算符，P是動量算符，在新量子論中具有基本的意義。P

Q是兩個希爾伯特空間上的厄米泛函算符，可以憑借對易關系直到一個希爾伯特空間的轉動，即一個酉(unit?r)變換

U

，被唯一地確定。還要補充一點，前提是P

Q構成一個不可約系統( ein irreducibles System bilden )。若希爾伯特空間作為泛函空間來理解，為簡單起見當作所有復函數的空間理解，為有限值，根據薛定諤的理論有一個特別簡單的對易關系的解集：

現在的問題是，這實際上是唯一(不可約的)解嗎？

請注意，如薛定諤的解所示，P

Q看似是無界的、也不是處處定義了的算符，當然PQQP也不是處處定義了的，但算符-i?1卻總是的。欲使等式成立，左側的定義域必須說清楚。

根據對易關系，應有：

利用
形式的函數計算一下，上式意味著：

左側是常見的相似變換。進一步地，這意味著：

由此利用函數
可得：

此方程為外爾1927年引入[Hermann Weyl, Quantenmechanik und Gruppentheorie,

Zeitschriften für Physik

46, 1—46(1927)]，欲用來當作對易關系的替代。這樣做的好處是，可以用算符P

Q作為單參數，定義酉函數簇，以及乘法規則：

前面的外爾方程變為

此外爾方程的兩側都是酉的、有界的、處處定義了的，意義完全清楚。對應的薛定諤情形為

接下來要證明，外爾方程的唯一的、不可約的解就是薛定諤的情形。證明所需的預設參見斯通(Marshall Harvey Stone，1903—1989)的論文。所有的解都會給出，包括可約的情形。這里的可約與不可約都是指希爾伯特空間的性質。{在這篇文章中，馮·諾伊曼引用了：

(1) Marshall H. Stone, Linear Transformations in Hilbert Space III： Operational Methods and Group Theory,

PNAS

16 (2), 172—175 (1930).

(2) Hermann Weyl, Quantenmechanik und Gruppentheorie (量子力學與群論),

Zeitschrift für Physik

46, 1—46 (1927).

后來馮·諾伊曼對斯通的定理有專文討論[John von Neumann, über Einen Satz Von Herrn M. H. Stone ( 論 斯 通 先 生 的 一 個 定 理),

Annals of Mathematics

, Second Series, 33(3), 567—573(1932)]；斯通自己也有新的相關文章[Marshall H. Stone, On one-parameter unitary groups in Hilbert Space,

Annals of Mathematics

, 33(3), 643—648(1932)]。后來介紹兩種量子力學等價性證明的時候，一般會說證明基于Stone—von Neumann定理，見下。如果無意了解這些學問發展的具體過程而只是想學會量子力學的數學基礎，這當然包括對矩陣力學與波力學等價性的理解，熟讀如下與本文有關的三本專著即可：

(1) Hermann Weyl,

Gruppentheorie und Quantenmechanik

( 群論與量子力學 ), Hirzel (1928).

(2) Marshall H. Stone,

Linear Transformations in Hilbert Space and Their Applications to Analysis

, American Mathematical Society (1932).

(3)John von Neumann,

Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

( 量子力學的數學基礎 ), Springer (1932) } 。

考察用復函數實現的希爾伯特空間，其上復函數內積是有界的，內積定義為
或者。考慮其上處處有定義的、有界的線性算符

A

，其伴隨算符(轉置共軛算符)由關系(

Af

g

f

A

g

), (

f

Ag

A

f

g

)定義。進一步地，我們關切依賴于參數

的算符

A

)。如果所有函數(

A

f

g

)是勒貝格意義下關于

有測度的(me?bar)，則稱

A

)對參數

的依賴是可測量的(me?bar)。

A

)是可測量的，則

aA

A

A

B

)以及

A

B

)都是可測量的。

在接下來的討論中，令?=1。設若所有的

U

V

)算符是酉的，依有測度的方式依賴于參數

，則如下關系成立：

引入酉算符簇

可見有關系

S

S

, -

)。若a

)是

-平面上的絕對可積的函數，則積分

是絕對收斂的。研究算符(簇)A，定義如下

，其中函數a(

α, β

)稱為

A

的核。因為

S

S

, -

A

* 對應的核為函數的核分別為算符積AB的核為

{這算是一種卷積}。

最后，若算符

A

=0，則它的核

a

)直到一個勒貝格測度的空集為0(bis auf eine Lebesguesche Nullmenge)。

A

=0，自然有

S

u

, -

v

AS

u

v

)=0，但

S

u

, -

v

AS

u

v

)=0 對應的核為e i(

αv

βu

a

α, β

)，故有關系：

為了薛定諤算符的唯一性證明，考察算符

A

，即考察核

a

α, β

的情形。這是一個不為0的厄米算符，而

AS

u, v

A

A

只差一個常數因子。

S

u, v

A

的核為，計算可得到

AS

u, v

A

的核為，于是有關系：

這里可以看到有

AA

=2π

A

，即

u

=0,

v

=0的情形。

現在研究如何解方程

Af

=2π

f

，這就是此處研究的交換關系的形式。因為

A

是線性、有界的，解在希爾伯特空間上構成一個閉合線性流形

M

。記同

M

正交的閉合線性流形為

R

R

里的元素

f

通過同流形

M

中的元素()的正交性所表示，即總有(

f

Ag

)=0，或者總有(

Af

g

)=0，或者

Af

=0。

對于同屬流形

M

f, g

，有：

1 ,

2 , …為一正交歸一函數集，在流形

M

中是完備的，

S

α, β

n (

n

固定，

α, β

改變)所張的閉合線性(子)流形

B

n是不變的。

B

1,

B

2, …張成整個希爾伯特空間。

S

α,β

n 簡記為

f

α,β ，有：

線性簇(Linearaggregate)

f

α,β

在(子)流形

B

n上處處是稠的。如果我們能證明任何兩個這樣的(子)流形，其上的酉算符

S

α, β

)和點

f

α,β

有上述性質，是同構的，我們就達到目的了。

回到此前的變換

U

V

)問題，有如下論述：一個酉算符系統

U

V

)，連同張成整個希爾伯特空間的點

f

α,β

系統，經如下性質可唯一地(直到一個未定的酉變換)確定：

在多自由度的量子力學問題中，有如下交換關系集(圖3)：

引入算符
則有外爾關系：

圖3 馮·諾伊曼1931年論文578頁上的截圖

從一般的表示論的觀點來看，此處處理問題的方式同弗羅貝尼烏斯(Ferdin and Georg Frobenius，1849—1917)用“特征單位元素“處理有限群，外爾借助群數(Gruppenzahlen)研究封閉連續群有聯系。算符
可詮釋為

S

)群的群數，而

AS

u,v

A

c

u,v

A

c

u, v

是一個數)與原初特征單位元素的定義性質等價。

馮·諾伊曼的這個證明，總結起來一句話，就是關于量子力學基本對易式一定要和希爾伯特空間以及其上的酉變換一起全面地理解。筆者斗膽說一句，跟約當和馮·諾依曼關于QP-PQ=i?1的大量工作相比，海森堡1927年基于QP-PQ=i?1提出的所謂“不確定性原理”的工作就是一個小玩笑。這個小玩笑被廣為傳頌和誤解誤用就是它是小玩笑的證據，它和薛定諤1935年“論量子力學的現狀”這篇嚴肅論文被演繹出一只又死又活的貓如出一轍。熱衷于怪力亂神而不愿或者無力對待嚴肅學問，這就是科學研究、科學教育與科學傳播中的冰冷事實。

兩種量子力學的等價性證明，后來的文獻會說是馮·諾伊曼基于Stone—von Neumann定理證明了薛定諤的表述與海森堡的表述是酉等價的(unitarily equivalent)。所謂的斯通的工作，見于系列文章Marshall H. Stone, Linear Transformations in Hilbert Space I： Geometrical Aspects,

PNAS

15(3), 198—200 (1929)； II： Analytical Aspects,

PNAS

15(5), 423—425 (1929)； III： Operational Methods and Group Theory,

PNAS

16 (2), 172—175(1930)，以及前述的1932年的一篇論文和長篇專著(622頁)。愿意夯實量子力學基礎的讀者不妨讀讀這些專著。

馮·諾伊曼還就斯通的定律自己寫了一篇論文“論斯通先生的一個定理”，對理解等價性證明有用。茲略述如下。若一個希爾伯特空間 上的酉算符簇

U

t

具有群的性質，

U

t

U

s

U

t+s，其中

s, t

為實數，則存在單位算符

E

)的一個分割{請比照閱讀John von Neumann, Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren (厄米特泛函算符的一般性本征值理論)，

Math. Ann.

102, 1(1929)}，使得符號上成立。對于任意兩個希爾伯特空間上的函數

f

g

, (

U

t

f

g

)= 。這里的前提是

U

t是

t

的連續函數。這就是Stone—von Neumann定理。

Stone—von Neumann定理可用來證明位置與動量算符之間的正則對易關系的唯一性。外爾1927年注意到，正則對易關系[x

p]=i?1在有限維空間上不成立[Hermann Weyl, Quantenmechanik und Gruppentheorie,

Zeitschrift für Physik

46, 1—46(1927)]。Stone—vonNeumann定理斷言，正則對易關系的任何兩個不可約表示是酉等價的(unit?r equivalent)。大意是，引入為酉群元素的e i

Qt

，e i

Ps

，則e i

Qt

e i

Ps

=e -i

st

e i

Ps

e i

Qt

。反過來，若給定兩個單參數的酉群，

U

t

),

V

s

)，滿足關系

U

t

V

s

e

-i

st

V

s

U

t

)，則在參數

s, t

為0處微分所得到的群生成元滿足正則對易關系。

馮·諾伊曼的《量子力學數學原理》是闡述公理化的量子力學的經典，用了第一章的3，4兩節來談論兩種量子力學的等價性。馮·諾伊曼在書中的表述可看作是對這個問題的總結性發言，簡明易懂。

[內容摘錄]

§3 變換理論

矩陣理論的基本問題是確定矩陣

Q

1 …

Q

k，

P

1…

P

k，其一方面要滿足交換關系，另一方面須使得哈密頓函數

H

Q

1…

Q

k，

P

1…

P

k)是對角的。玻恩和約當在他們的第一篇文章中就將其分為兩步。

首先是找到一組矩陣
滿足交換關系，...