泛談數學和物理的關系——給大學新生同學們的話

|作者：吳從軍

(西湖大學物理系)

本文選自《物理》2025年第9期

正值開學季節，大學新生入校，正同學少年，對未來充滿憧憬的時候。有不少有志于物理事業的同學，找我約談物理的學習方法與規劃。

物理這門科學的基礎性和實在性，從其英文的詞源就可以看出來。physics和最重要的動詞be同源，均來自于古印歐語bheue[1]，其含義是“存在”、“生長”。這個詞后來分化的一支演變成古希臘語的physikos、拉丁語的physica，以及英語的physics，意思是對自然的研究。它分化的另外一支演變成be，而“存在”正是其基本含義之一。從字面上看，physics包含了所有對存在事物的研究。中文以“物理”來表達physics是非常貼切的。

對于物理的學習和研究，當然離不開數學。因為西湖大學頭兩年不分專業，有些同學想同時學最深的數學和物理課程。我欣賞同學們追求上進的精神，但還是建議彼此之間不要攀比。在大學本科階段，最重要的是學會物理學家看待世界的思維方式，為以后在物理方向繼續深造打下基礎。另一方面，相當一部分同學會進入其他行業，具有物理背景而在各行各業成功的例子是很多的。有些同學覺得學好抽象的數學，方能顯示出自己出眾的能力，日后有更多的機會從事高深的物理研究。其實這是一種誤解。

關于如何處理好數學和物理之間的關系，這方面已有一些前輩名家的教誨。前不久，著名物理學家徐一鴻先生在一個對談節目里面講得很好：物理離不開數學，但是物理學家也不需要掌握大量高深的數學知識[2]。我同意他的觀點。

我談的內容針對的是未來有志于獻身于物理事業的同學，并不適用有志于純數學研究的同學，他們應該去咨詢數學老師們尋求有益的指導。可能也會有其他學科的同學閱讀這篇文章，我也鼓勵他們能夠在《大學物理》的學習之中，來了解一下物理學家的思維方式。對于他們來說，是否要學很深的物理，或者說要學多深的物理，最好也是去咨詢相關方向的老師。黃昆先生也有句名言，“學習知識不是越多越好，越深越好，而是要和駕馭知識的能力相匹配”。

黃昆先生(1919—2005)是中國固體物理學和半導體物理學的奠基人之一。其代表成就包括固體中缺陷導致的X射線漫散射的“黃散射”理論、多聲子無輻射躍遷的“黃—里斯理論”、以及描寫半導體中聲子極化激元的“黃方程”等

我請AI寫了首五言絕句，“數理本同源，行行終分遷。數學為舟楫，物理溯天然”。詩中各句分別在下文中被用做各節的標題。

01

數理本同源

數學和物理同是人類理性認識自然的兩種最基本的方式。楊振寧先生把數學和物理比作兩片并蒂的樹葉[3]。它們之間關系更像是父親和母親一樣，是相輔相成、相互促進的平等關系。在自然科學中的各個學科中，物理學是使用數學最深刻的。物理學離不開數學，就像渡河離不開船一樣。離開了數學，物理學就無法深入下去。在物理研究的過程中，不斷會出現新的數學問題，這經常是促進數學發展的源動力之一。數學和物理的密切結合，才使得人類對自然的認識不斷地深化。

縱觀人類歷史，數學和物理不分家其實是主流的傳統，從古代一直到近代都是如此。很多著名的數學家同時也是重要的物理學家，反過來也一樣。這方面的例子是屢見不鮮的。

古希臘時代科學家的代表人物阿基米德，是那個時代頂級的數學家和物理學家。作為數學家，他是積分的早期奠基者，發明了無窮小分析，求解了拋物線段和直線段所圍的面積。作為物理學家，他集靜力學之大成。他將數學模型應用到物理分析之中，得到了杠桿平衡條件和浮力定律等。

到了近代，牛頓在物理學史上的地位自然不用多說。此外，牛頓也是數學史上數得著的數學家。他和萊布尼茲是微積分的主要發明者，建立了微分和積分的關系，提出了著名的牛頓—萊布尼茲公式。在之后的兩百多年中，經典物理的發展離不開求解微分方程，同樣發展微分方程的直接動力就是為了解決經典物理提出的種種問題。數學和物理之間彼此促進，相得益彰，令人神往。

高斯是大家都很熟悉的大數學家，活躍于18世紀末19世紀早期。他對數論有重大貢獻，還提出了素數猜想；他是非歐幾何的創始人之一，提出了高斯曲率，發現了“絕妙定理”。其實高斯也是電磁學歷史上重要的貢獻者。麥克斯韋方程組一共有四個方程，其中一個被稱為電場的高斯定律，另一個是它的磁場對應。電磁學基本單位制的一種就是高斯設計的，因為在其中電磁的地位是對等的，深受物理學家的喜愛。高斯還發明了磁力計，用來測量磁場的方向和大小。

更加現代的例子還有楊振寧先生，他是大家都很熟悉的大物理學家。他和李政道先生提出的在弱相互作用中宇稱不守恒的工作，得了1957年的諾貝爾物理學獎。其實楊先生對數學領域也有不小的影響。當代數學物理的兩個核心課題是楊—米爾斯規范場和楊—巴克斯特方程。楊—米爾斯量子規范場論的質量能隙問題是當代數學所關心的問題，是克雷數學研究所提出的數學七大千禧年難題之一，至今尚未完全解決。楊—巴克斯特方程，則開啟了量子群和量子代數的研究方向。

02

行行終分遷

數學和物理雖然在早年密不可分，但是它們的價值觀并不相同。隨著時代的發展，彼此之間的差異越來越大，漸行漸遠。到了20世紀以后，數學和物理之間的溝通和交流就變得困難了，這是一件令人遺憾的事情。

數學無疑是優美的。我不具備現代數學的素養，說的不對還請大家批評。我的感覺是，嚴格性是數學所追求的核心價值之一，這和物理的價值觀不盡一致。對于物理來說，除非是你所從事的是數學物理研究，否則嚴格性不是最主要的。嚴格性是錦上添花的事情，并非本質的要求。

物理學理論的價值在于它能否解釋已有的實驗，或者是加深對已知理論或實驗的理解，最好是能預言新的結果來指導未來的實驗。物理原理通常達不到數學意義上的嚴格，對此物理學家們并不會在意。在理論基礎不嚴格的情況下，物理學家們會大膽地往前發展，而不是先去把基礎嚴格化。打個比喻，假設一個物理學家打算出門。按照數學的觀點，他這樣做是不嚴謹的：路上會不會出交通事故呢？他要先證明能安全地回來，才可以出門。如果按照這個標準，那可研究的物理是少之又少了。

量子場論是當代物理學的代表性成就之一。其中的量子電動力學計算出電子的磁矩

B =2.0023193044320(687) [4] ，其中

B是磁矩的自然單位玻爾磁子 ，

e

是電子電荷，

m

是電子質量，

c

是光速。實驗測量給出的值為2.002319304361460(56) [4] 。理論和實驗之間的差別小于十億分之一，這實在令人震撼，無疑是巨大的成功。然而，如果用數學的眼光來審視，這個結果難以讓人滿意。量子場論因為存在無窮多自由度，會出現發散的困難，也就是計算的結果表觀上是無窮大，這顯然是不物理的。要得到有意義的結果，需要進行重正化，其第一步就是要對發散的積分進行正規化。正規化的早年做法，是把兩個無窮大的發散積分相減得到一個有限值，顯然這在數學上是病態的。即使在物理學家內部，以狄拉克為代表的不少人，也對重正化持否定態度。隨著人們認識的深入，物理學家對重正化合理性的理解在逐步地深化。重正化以及重正化群的概念，不僅在高能物理領域起著關鍵的作用，也在凝聚態物理中成為了研究相變和臨界現象的重要工具。

即使是數學，在其古典時代也可以容忍一定程度的不嚴格性。在微積分的歷史中，有過長達近200年的不嚴格時期。牛頓、萊布尼茲發明了微積分，那是1670年代的事情。牛頓的目的是要解決變速運動，他的微積分是非常直觀的，并不嚴格。如果問牛頓，d

t

里的d

t

，到底是不是0？牛頓是給不出令人滿意的回答的。微積分的嚴格化是后來的事情。大家將要學的

語言，是在1860年代由維爾斯特拉斯、柯西等人提出。在這200年間， 誕生了拉普拉斯，歐拉、拉格朗日、高斯等眾多數學物理學家，他們使用的微積分都不嚴格。恰恰在這段時間內，以微分方程為代表的高等數學飛速發展。物理系一門重要的基礎課是《數學物理方法》，其核心部分是偏微分方程和特殊函數，正是這個時期的成果。

在19世紀中期以后，微積分基礎的嚴格化完成了。一個代表成果是維爾斯特拉斯函數，它處處連續處處不可導，而人們之前一直默認連續函數除掉個別的尖點外都是可導的。曾經有人問過：如果在微積分成熟之前，有人碰巧發現了這個函數，那會怎么樣？很有可能其結果是負面的，因為這會引起人們對微積分基礎的不信任。要等微積分變嚴格了再去使用它，那對物理研究的拖累就太大了。所以，過分的嚴格性對物理研究不僅不是好事，反而有害。

03

數學為舟楫

物理學家需要數學，但是數學不是目的而是工具。最好是在物理的學習過程中，缺什么數學就學什么，而不是堂堂正正先學很多數學。人的精力有限，魚與熊掌不可兼得。正如徐一鴻老師所說，絕大多數的物理進展并不是數學推動的。在物理的學習過程中，帶著問題去學數學，往往事半功倍，而且可以學到實戰本領。

在物理研究的過程中，經常要用到我們所不懂的數學。這時候，物理學家可以虛心向數學家朋友們去請教。例如，楊振寧先生在研究規范場理論時，就向數學家西蒙斯請教過纖維叢的概念。有時所需要的數學還沒有建立起來，這樣的話，物理學家甚至可以發明新數學。牛頓發明微積分就是最好的例子，因為當時有求解運動方程的物理需求，而這些是二階微分方程。

海森伯于1925年發明了量子力學的第一種現代表述形式——矩陣力學，距今整整100年。當時，他其實并不了解矩陣。他根據玻爾舊量子論中的定態假設，把坐標的概念做了重新解釋。例如，對于坐標的

分量，海森伯把它架構在初態

i

和末態

j

之間，這樣

就不再是一個數，而成了一個二維數組

ij 。計算輻射功率，需要坐標的平方(

2 )ij，于是他將第一個

架在初態

i

和中間態

k

之間，第二個

坐標架構在中間態

k

和末態

j

之間，然后對中間態

k

求和，即。他的導師玻恩看出來這就是矩陣乘法，可以說海森伯是重新發明了矩陣?？梢韵胂螅绻敃r沒有線性代數的話，量子力學對線性代數的需求，就會極大地推動線性代數的發展，就像當年牛頓力學促進微分方程的發展一樣。

04

物理溯天然

物理的思維特點是先具體再抽象，而不是反過來。在沒有掌握物理的思維方法之前，過度的抽象會妨礙物理的學習，陷入空頭思辨的泥潭。一上來就抽象不符合認知規律。

如果你不想以純數學為人生追求的話，沉迷于過于形式化的數學可能對你有害。因為價值觀的不同，你就不會認可物理學的思維方式。如果日后想再學習物理學，那將會非常痛苦。這是整個思維方式的變化，不是所有人都能夠切換自如的。

我推薦《費曼物理學講義》給大家，也是因為它體現了物理學家的思維模式。它一般不會把物理原理直接拋給讀者，而是把讀者代入該原理發展的背景之中，讓讀者體會其構建的過程。就像帶著讀者修建一所房子，讀者需要親自搭腳手架，而不是拎包入住。這中間的過程沒有過多的形式化推理，非常的形象。很多知名的物理學家，回憶為什么會走上物理學的研究道路，都承認《費曼物理學講義》對他們的啟發和觸動。

我們常說數學是物理的語言，但是很多意境是可意會不可言傳的，而參悟這些意境是學習物理的關鍵所在。如果不明白方程背后的圖像，只是關注于方程本身的推導，從抽象到抽象，那非常容易迷失在數學語言之中。如果習慣于這種思維方式，那日后就不太容易做出開創性的成就了。因為抽象是需要有基礎的，要先等別人建好一個基礎，你才可能去抽象，也就很難跳出別人的框架了。

我有一位數學家朋友讀過《費曼物理學講義》第二卷，講的是電磁學，其基本內容是麥克斯韋方程。那些偏微分方程對他來說是很淺顯的。他的體會是每個方程都看得懂，但還是不理解電磁波是怎么發射出來的。我給他解釋了法拉第電力線的概念，電力線就像橡皮筋，其起始段和末端分別系在正負電荷之上。隨著電荷的振動，電力線也隨著彎曲，并傳播開來，就像是吉他弦上的波動，這就產生了電磁波。吉他的弦波是橫波，類似的電磁波也是橫波。麥克斯韋方程正是用數學嚴謹的語言來講上面的故事。有了這樣的物理圖像，再去看那些微分方程，就會感覺方程就是可以被人理解的語言了。

關于如何處理在物理學習和研究中具體和抽象的關系，我想用大家熟悉的例子做個比喻。先秦《詩經》中的《國風》，在中國文學史上有重要地位，其源頭是在田間地頭傳唱的民歌?？上攵?，其原型不可能雅致到哪里去，但是其源自生活，所以充滿生命力。于是廟堂之高派人來采風于江湖之遠，收集整理并進行加工，用文人的語言來升華，就雅致多了。當然這是必要的，成為經典才能更好地流傳，所謂“言之無文，行而不遠”。但是文學隨后的演化就逐漸地抽象了，漢賦和六朝駢文盛行，對文采和音律的雕琢超過了對內容的追求。雖然出了像王勃的《滕王閣序》那樣的名篇，但是路越走越窄，到了唐朝中后期就走不下去了。于是韓愈“文起八代之衰”，發起古文運動，提倡寫樸實而言之有物的散文。在這基礎上誕生了唐宋八大家的古文。對于物理學家，基于實驗事實來構造理論就像是采風，鐘情于形式化理論就像是寫駢文。這中間要有一個平衡。

05

結 語

有同學跟我談心，說他想以物理為人生追求，但是擔心自己會一事無成。我回答道，有成無成更多是一種主觀的感受，每個人都是比上不足比下有余。如果努力了，一事無成并不可怕。那怕只有一點小小成就，我們就可以每天樂在其中，活得很開心。

費曼曾給他的一個日本學生寫過一封信[5]。那個學生來美國留學，本想跟費曼做一番大事業，結果不如人意，畢業后返回日本。他給費曼寫信說他找了個職位，在做卑微(humble)的研究課題，還說自己是個小人物(nameless)等等。費曼寬慰他，說課題不在乎大小。只要是沒有解決的問題，只要能夠向前多走一步，那就是有價值的。如何讓自己覺得活的有意義呢？就是從小事、具體的事情做起。比如，如果有個同事有問題搞不定，他能幫人解決，同事就會感謝他，那他就不是個小人物。

這就是“勿以善小而不為”的態度。有成無成不是大事，有著“朝聞道夕死可也”的心態，生活就不會苦悶。

最后，我向對于有志于獻身物理事業的同學表示深深的敬意。

參考文獻

[1] 對bheue的介紹. https://www.etymonline.com/word/*bheue-

[2] 徐一鴻和張朝陽的對談 . https://news.sciencenet. cn/htmlnews/2025/7/548166.shtm

[3] 楊振寧 . 美與物理學 . 見：楊振寧，翁帆編譯. 曙光集. 三聯書店，2018. p.315

[4] Vogel M. Contemporary Physics，2009，50：437

[5] 費曼致學生真野光一. 見：R·P·費曼 著，葉偉文 譯 . 費曼手札：不休止的鼓聲 .長沙：湖南科學技術出版社，2019

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