從漂移速度到相對論時空變換（Ⅱ）

|作者：俞逸驍1 吳從軍2,?

(1 西湖大學本科生β書院)

(2 西湖大學物理系 新基石科學實驗室)

本文選自《物理》2025年第8期

文章從電磁學的基礎理論出發，考察電荷和電流環(磁偶極)在正交電磁場中的漂移速度，即做勻速直線運動時的速度，以及漂移速度在不同慣性參照系之間的變換關系。由此可以論證，可以實現的速度(簡稱物理速度)必定存在一個普適的上限。簡單地說，電荷和電流環的漂移速度的乘積是個普適的常量，我們將其定義為

c

2。這兩個漂移速度不可能都是物理上可以實現的，否則就會出現這樣的矛盾：在一個慣性參照系中的勻速直線運動，在另外一個慣性參照系中變成了加速運動。可以論證，在這兩個漂移速度之中，小于

c

的那個可以在物理上被實現，而大于

c

的那個則不能。這表明

c

是物理速度的上限，由此可以建立相對論性的電磁場和時空坐標的洛倫茲變換。原則上，

c

的值可以通過測量電荷和電流在穩恒電磁場中的受力來確定。真空中的光速值正好與

c

相同。下文中的論證并不需要以電磁感應和位移電流等動態電磁場的性質為前提。

01

引 言

狹義相對論由愛因斯坦[1]、龐加萊[2]、洛倫茲等人在20世紀初建立，已經成為現代物理學的基石之一。一般說來，狹義相對論的前提有兩個公設(postulate)。其一是相對性原理，即基本的物理定律在所有慣性參照系里都是相同的。(為表述方便，下文中有時將慣性參照系簡稱為參照系。)其二是光速不變原理，即光的傳播速度在各個慣性系里都是相同的。在這兩條公設的前提下，可以推導出時空坐標的洛倫茲變換，得出光速是物理速度的上限。光速也可以被解釋成相互作用傳播速度的上限。

相對性原理是合乎情理的，早在伽利略時代就被提出。當然，伽利略所針對的是力學現象。他指出，在湖面上的一艘大船中，如果只是觀察船艙內蝴蝶的飛行，那是不能判斷船是靜止還是勻速直線地行駛于湖面之上的，除非觀察者打開窗戶向外看一看[3]。牛頓運動定律在所有慣性參照系中都是相同的，沒有哪一個慣性參照系會比另外一個更特殊。如果在一個參照系里，一個粒子做勻速直線運動，所受的合力為零，則在另外一個參照系里觀察，它也在做勻速直線運動，所受的合力也為零。

“光速不變”則是另外一回事。當然對于很多資深物理學研究者來說，“光速不變”是常識，見怪不怪。但是對于初學者來說，“光速不變”就顯得非常不自然，是理解相對論的最大困擾。在日常經驗中，池塘里面水波的波速就依賴于慣性系的選擇。把池塘本身當作參照系，我們寫下水波的波動方程，可以得到其波速。另一方面，我們也可以采用從岸邊駛過的一列火車為參照系，這樣就要對水波方程和波速進行時空坐標的變換。不論用伽利略變換還是洛倫茲變換，水波方程和波速都發生了變化。憑什么說光波比水波要特殊呢？

在教材里面，通常采取下面這樣的講法。邁克耳孫—莫雷實驗發現：從固定在地面上的光源發出的光，其速度并不依賴于地球相對于以太的運動，這樣的實驗事實否定了以太的存在。給人的印象是，光速不變完全是基于邁克耳孫—莫雷等實驗的結論。

還有一種常見的觀點認為，相對性原理應該包括電磁學規律。這樣的話，麥克斯韋方程(Maxwell equations)的成立就不依賴于慣性參照系的選擇。既然光速由麥克斯韋方程給出，那光速不變就是相對性原理的推論而已。

這樣說固然沒有錯，但是過于簡化了物理學史上的艱難歷程。“麥克斯韋方程不依賴于慣性系的選擇”的觀念，并不是一開始就被物理學家們所接受的。麥克斯韋最初是把位移電流建立在類似于分子介質的圖像之上的。他把磁場想象成介質中的一種渦旋[4]。當麥克斯韋把位移電流推廣到真空時，他保留了其數學形式，而放棄了其力學模型。可見在當時，很難讓人相信麥克斯韋方程和水波方程有什么本質的差別。

事實上，麥克斯韋本人認可“以太”的存在，認為他給出的光速是相對于“以太”而言的。在19世紀末和20世紀初，物理學界對“以太”的存在進行了長期的爭論，后來才被邁克耳孫—莫雷實驗所否定。因此，在教學中對“光速不變”進行深入的思辨，是有必要的。

在文獻中，已經有繞開“光速不變”，僅從相對性原理出發，重新推導相對論的工作[5—8]。它們的特點是基于時空的均勻性和空間的各向同性，把參照系之間的時空變換視作為對稱群操作。基于群操作之間自洽性(self-consistency)的要求，可以得到一個帶速度平方倒數量綱的常量，它可以取任意實數值，記作

K

=±1/

c

2 。根據

K

為正、零、負三種情況，時空變換群可以被劃分成雙曲、拋物、橢圓三種類型，分別對應于洛倫茲、伽利略和旋轉等三類時空變換。旋轉變換因為違反了因果關系(causality)，應當被排除。伽利略變換(

K

=0)和洛倫茲變換(

K

>0)，都是滿足因果關系的。

可見“光速”只是一個習慣性的叫法，并不本質。重要的是，要存在一個不依賴于參照系選擇的速度常量
，它是物理速度的上限。伽利略變換相當于洛倫茲變換在

c

→∞下的極限。

文獻[5—8]中的討論，是局限在力學范圍的。這樣就無法回答：怎么來決定

c

的取值？如果只就力學現象而言，我們無法排除掉

c

→∞的可能。即便測得某個相互作用以有限的速度傳播，也不能排除存在瞬時相互作用的可能。瞬時相互作用的存在并不會帶來力學框架在理論上的困難。當然，

c

也可以取一個有限值，這就是洛倫茲變換，也就設定了物理上可以實現的速度上限。但是在力學的框架下，并沒有理由要求時空變換是伽利略型的或者是洛倫茲型的。

要論證物理速度存在一個普適的上限，需要把力學和電磁學結合起來。本文作者之一曾從基礎電磁學的角度來引入狹義相對論[9]。方法是考察電荷和磁荷的漂移速度在參照系下的變換。如果一個帶電荷或磁荷的粒子，在正交電磁場中所受到的合力為零，保持靜止或勻速直線運動，則稱之為漂移運動。請注意，作者對于“漂移速度”這個術語，沿用了加速器物理和凝聚態物理霍爾效應研究中的習慣。

在一個慣性系中的漂移運動，在另外一個參照系看也應該是漂移運動，該粒子受到的電磁合力也應該為零。我們發現這個簡單的事實和伽利略時空觀存在本質的矛盾，由此得出物理的漂移速度存在一個普適的上限

c

。要得到這樣的結論，其實不需要事先知道麥克斯韋方程，也不需要知道電磁波的存在。如果該上限不存在的話，則會出現違反相對性原理的情況：一個電荷或者磁荷在一個參照系中做靜止或勻速直線漂移運動，而在另外一個慣性系看則是加速運動。

然而，文獻[9]中的論證需要假設磁單極的存在，并且使用了磁單極在電磁場中的靜磁力和電洛倫茲力公式，顯得說服力不足。雖然磁單極和現有的電磁學理論是兼容的，但是磁單極的存在還沒有公認的實驗證據。

如果能夠在不假定磁單極存在的情況下，論證物理的漂移速度存在上限，那將是有意義的。本文作為文獻[9]的續篇，通過考察電荷和電流環(磁偶極)在正交電磁場中的漂移速度，同樣可以得出物理的漂移速度存在著上限

c

的結論。進一步地，根據文獻[9] 中的方法，可以推導出相對論的速度疊加公式、電磁場和時空坐標的洛倫茲變換。

本文需要關于穩恒電磁場的麥克斯韋方程作為先驗知識，但是不需要事先知道法拉第電磁感應定律和麥克斯韋位移電流。物理速度的上限

c

可以通過在穩恒電磁場中的受力測量來確定(見下文公式(9)以及相關段落的討論)，并不需要電磁波的知識。如果把完整的麥克斯韋方程作為先驗，那么容易得出電磁波的傳播速度正好就是

c

回過頭來看會發現，建立相對論的知識儲備，其實在比較早的時期就已經完備了。關于穩恒電磁場的知識建立在麥克斯韋時代之前。洛倫茲力公式(下文(2)式)是在1895年被正式提出的。也有證據說早在1865年，麥克斯韋已經推導了該公式[10]。另一方面，安培力是在1820年代被發現的。如果認為電流是由于電荷的運動引起的，則不難從安培力推導出單個電荷所受的洛倫茲力。從更為基礎的觀點，洛倫茲力公式可以視為對磁場的定義，即通過電荷受力對速度的依賴來定義磁場。在下文2.2節中，對洛倫茲力公式進行了基于對稱性和能量守恒的論證。

本文以下的部分按這樣來安排。在第2節中，我們詳細解釋下文推導所需要的前提，并構造一個帶速度量綱的常量

c

。在第3節中，考察在正交電磁場中電荷和電流環(磁偶極)的漂移速度，以及它們在不同參照系之間的變換，由此論證物理上可實現的速度上限就是

c

。在第4節中，對在時間上穩恒但空間上不均勻的電磁場進行參照系變換，可以演示法拉第電磁感應和位移電流存在的必要性。在第5節中，對全文進行總結。在附錄A里，介紹磁、電偶極矩在時空對稱性變換下的性質。在附錄B里，我們對在正交電磁場中運動的電流環，做相對論性的受力分析。

02

論證的前提

下面的論述不需要引入磁單極，而將采用磁偶極。磁偶極可以用小電流環來實現。我們來清點并解釋下文推導中所需要的前提。

(1) 相對性原理——弱版本

我們只需要用到比較弱的相對性原理。

在力學方面，我們要用到以下結論。如果一個粒子在慣性參照系F中，處于靜止或勻速直線運動狀態，那么在任何一個慣性參照系F′中，它也仍然是靜止或勻速直線運動狀態。如果將粒子換成一個有限大小的物體，它在慣性參照系F中保持靜止或者做勻速直線平動，那么在任何一個慣性參照系F′中，它也仍然處于靜止或勻速直線的平動狀態。

在電磁學方面，我們需要假設對穩恒電磁場的麥克斯韋方程在所有慣性參照系中都成立，包括電場和磁場的高斯定律(Gauss's law)(下文公式(4)，(5))、穩恒電流的安培定律(Ampère's law)(下文公式(6))。我們不要求事先了解麥克斯韋方程的動態部分，包括法拉第電磁感應、麥克斯韋位移電流，以及電磁波傳播的知識。

(2) 電荷在電磁場中的受力

我們先解決一個檢驗電荷

q

在電磁場中受力的定義問題。電荷

q

在電磁場中受到的力F，可以分解成與

q

的運動速度

v

無關的部分FE，以及與

v

線性依賴的部分FL。我們將采用高斯單位制。在此電磁單位制中，電場和磁場的地位相等。

FE的表達式如下，

(1)式可視為電場

E

的定義，原則上可以通過測量靜止的檢驗電荷

q

的受力來得到。

FL為磁力，一般稱之為洛倫茲力，其表達式如下，

在(2)式中，

c

1只是一個帶速度量綱的量。它的不同取值可以被 的放縮所吸收，只要保持它們之間的比值不變即可。這相當于不同電磁單位制的選擇。

基于對稱性和能量守恒，我們不難分析出帶電粒子所受的洛倫茲力的形式。FL可以視為對速度的線性響應。原則上，它可以被寫成，

ij

是二階張量，可以被分解成對稱部分

ijs 和反對稱部分

ij

A 之和。其中的對稱部分

ijs 可以被對角化，得到其主軸以及相應的本征值

i

。當速度沿著主軸時，由

ijs 給出的力為。取決于

i

的正負，該項會帶來能量的增益或耗散，從而違反了真空中的能量守恒。因此

ij

必須是完全反對稱的。我們可以把

ij

表示成贗矢量的形式：，這就得到了(2)式。

我們需要如下的電磁學基礎知識。

(3) 電場和磁場的高斯定律：

電荷

Q

是相對論不變量，不依賴于參照系的選擇。

(4) 安培定律：

其中

c

2是一個帶速度量綱的常量。(2)式和(6)式中所出現的速度

c

1和

c

2均依賴于電磁單位制的選擇，并不具有單獨的物理意義。容易得到，

c

1

c

2是一個和電磁單位制無關的量，由此定義

為了簡化討論，我們設B=，則有：

(7)式和(8)式是洛倫茲力和安培定律在高斯單位制中通常的形式。

目前，

c

也還只是一個帶速度量綱的常量而已，還不具備物理速度普適上限的含義。在原則上，

c

是實驗可測的。考慮兩塊無限大平行金屬板。如果它們分別帶面電荷密度±

，并且沒有電流的話，則極板單位面積上所受的吸引力為

P

E

=2π

2。另一方面，如果兩塊極板上分別通過面電流密度±

K

，而且電荷密度為零的話，則極板單位面積上所受的排斥力為

P

B

=2π

K

2/

c

2。我們有：

這樣定出來的

c

和電磁單位制的選取無關。如果采用SI單位制，，得到的結果是同樣的。推導作為練習留給讀者。

03

對物理速度上限的推導

本節中將要用到一些準備知識，請參閱附錄A。例如，極矢量和軸矢量的概念、電磁場的對稱性，磁偶極矩和電偶極矩的對稱性等。

設在參照系F中，在

y

=±

處放置兩塊平行于

zx

平面的無限大平行板(圖1)，以恒定速度

v

沿著 方向運動。在F中測得兩塊平行板的面電荷密度分別為±

。則平行板上面電荷的運動產生沿著 方向的面電流，面電流密度分別為±

K

，其中

K

σv

圖1 在慣性參照系F中，兩塊無限大平行板(平行于

zx

面)放置在

y

=±

處，分別帶面電荷±

。它們以速度

v

沿著 方向運動。該設置產生了穩恒的正交電磁場

，其中

K

σv

是面電流密度。S是跟隨平行板運動的隨動參照系。一個均勻的電流環，其法線沿著 方向，以速度

v

沿著 方向運動。該電流環在S中是靜止的

這些電荷和電流的分布會產生穩恒的電場和磁場，下面根據對稱性來論證它們的方向。

該系統在關于

xy

面的鏡面反射

xy

下不變。磁場B是軸矢量，其分量(

B

x ,

B

y

B

z

)在

xy

操作下，變成(-

B

x ,-

B

y

B

z

)，因此

B

B

y=0，只有

B

z 能保持不變，即B沿著 方向。電場E是極矢量，在

xy

鏡面反射下變成(

E

x ,

E

y

,-

E

z

)，因此

E

z

=0。

該系統在關于

yz

面的鏡面反射

yz 和時間反演的復合操作下不變。在實施

yz 操作后，平行板的運動反向，時間反演變換再把運動方向恢復。電場E

E

x ,

E

y

0

) 在此變換下成為 (-

E

x ,

E

y

0

) ，因此

E

x=0。只有

E

y

保持不變，因此E只能沿著 方向。

經過簡單的對稱性分析可知，

E

y

B

z只在兩層極板之間的空間非零而且均勻分布，它們在兩層極板之外的空間中為零。論證的過程作為練習，留給讀者。

根據高斯定律，經過簡單的對稱性分析可以得到，

根據安培定律可以得出，

電場和磁場的方向彼此正交，它們通過平行板的運動速度相聯系，

在參照系F中，放置一個均勻的圓形電流環。該電流環平面的法線沿著方向，具有繞

軸的轉動對稱性，并且和平行板以同樣的速度

v

運動。在參照系F中，電流環是電中性的，其電偶極矩p=0。該電流環的磁偶極矩沿著 方向，即m// 。

考慮平行板的隨動參照系S，它相對于F系以速度

v

沿著 方向運動。在參照系S中，兩塊平行板是靜止的，所以不攜帶電流，因此平行板間的磁場為零，只可能產生靜電場Es 。該電流環在參照系S中也保持靜止，沒有靜電荷。根據在附錄A中的推論(II)，在參照系S中該電流環的電偶極矩ps =0，并且磁偶極矩ms // 。因此，它不受到力和力矩，處于靜止的平衡狀態。

根據慣性系之間的變換，在參照系F中，該電流環處于勻速直線運動的平動狀態，即以速度

v

在做漂移運動。本文下面的論證不依賴該電流環的受力細節。當然為了理論體系的完整和自洽性，在建立相對論之后，我們也給出該電流環的受力分析(詳見附錄B)。

在參照系F中，放入一個檢驗電荷

q

，可以形式上定義電荷

q

的漂移速度，

采用和文獻[9]中相同的方法，可以論證

v

q 是非物理的，簡介如下。如果

v

q

物理的話，那么在參照系F中，電荷所受到的電力和洛倫茲力相平衡，做勻速直線運動。則在參照系S中，它也應該保持勻速直線運動，但是該系中的磁場為零而電場Es非零，這會導致電荷加速。加速度是不能通過慣性參照系變換而消除的。這就導致了矛盾。

根據文獻[9]中第3節的論證，物理上可以實現的速度，應該存在一個有限的閾值

v

th 。小于

v

th 的速度是可以實現的，即物理的；而大于

v

th的 速度是不可以實現的，也就是非物理的。如果不存在這樣一個有 限的速度閾值的話，電荷和電流環的漂移速度就都是物理的了，這和上述的論證矛盾。

電流環的漂移速度

v

和平行板的運動速度相同，因而是物理的。可以得到，

請注意，到目前為止，我們還沒有確定

v

th 和

c

的關系。

在文獻[9]的第4節中，通過研究電荷和磁單極在正交電磁場中的漂移速度及其參照系變換，推導出了相對論性的速度疊加公式。現在不引入磁單極，而通過研究電流環(磁偶極矩)的漂移運動，也可以達到相同的目標。簡介如下。

考慮兩個慣性參照系F和F′，其中F′ 相對于F沿著

軸以速度

v'

運動，則

v'

是物理上可以實現的。設在參照系F中，一個粒子沿著

軸以物理速度

v

運動，則

v

v

th 。設該速度在參照系F′ 中的值為

u

通過選取不同的正交電磁場位形，

v

可以作為一個電流環的漂移速度來實現，也可以作為一個電荷的漂移速度來實現。先考慮電流環，其法線沿著

軸。根據本節上面的論述，取正交電磁場位形滿足就可以了。在另一方面，如果設置正交電磁場位形為，根據電荷在電磁場中的受力公式(1)和(7)，則電荷

q

以速度

v

做漂移運動。

通過和文獻[9]第4節中同樣的推理，我們得到，

其中

β'

v'

c

。文獻[9]中的推導依據是：如果一個電荷或者磁單極在正交電磁場中做物理的漂移運動，則該運動在慣性參照系變換下，仍然為物理的漂移速度。它們所受的電磁合力應該為零。現在，我們把磁單極替換成法線沿著 方向的電流環即可。

文獻[9]的第5節中論證了物理速度的上限

v

th =

c

。此處簡單介紹一下其證明的要點。考慮兩個物理的速度，即

v

v

th ，

v'

v

th 。對它們進行速度疊加的結果

u

，應該也是物理的，即

u

v

th 。這個要求使得

v

th <

c

為不可能，否則兩個物理的速度在疊加后，會出現

u

v

th 這樣的矛盾。

另一方面，

v

th >

c

也是不可能的。否則根據(14)式，取電流環的漂移速度

v

使得

v

th >

v

c

，則電荷漂移速度

v

q

滿足

v

th >

v

q

c

2 /

v

，從而

v

v

q

在物理上都是可以實現的。但是根據上面的結論，這是不可能的。因此，我們得到

v

th =

c

根據(15)式，可以得到

c

在與任何物理速度

v

的疊加下不變：代入

=1，則

u

c

。也就是說

c

和慣性參照系的選擇無關。在文獻[9]的第6節和第7節中，作者之一進一步推導了電磁場和時空坐標的洛倫茲變換，就不在這里贅述了。

在洛倫茲變換的基礎上，可以進一步研究相對論動力學。定義力為F=dp/d

t

，其中p

m

0 dr

以及

m

0 是靜止質量，

是在粒子隨動參照系中的原時。由此可以導出力的相對論變換公式，以及質能關系。這些過程和通常的教材是一致的，不再重復。

可以把電磁場在參照系F和F'之間的變換關系，總結成下面方便的形式，

其中v'

是參照系 F

相對于F的速度，//和⊥代表縱向和橫向兩個方向，即平行和垂直于v'的方向。特別地，如果在參照系F'系中電場為零，則在F系中有，

如果在參照系F′系中磁場為零，則在F系中有，

04

相對性原理與麥克斯韋方程

目前，我們已經建立了電磁場和時空坐標的洛倫茲變換。在這個過程中，只用到了麥克斯韋方程中針對穩恒電磁場和穩恒電流的部分，并假設了它們在所有的慣性系下都成立。

c

是從洛倫茲力公式(7)和穩恒電磁場的安培定律公式(8)而來。在論證

c

是物理速度的上限的過程中，并不需要和電磁波的傳播建立聯系。

要研究動態電磁場，則需要對穩恒場的麥克斯韋方程進行擴充。電、磁場的高斯定律(公式(4)、(5))，雖然在形式上不需要被改變，但是其物理含義已經擴充到動態電磁場。此外，還有法拉第電磁感應定律，

對安培定律(公式(8))的擴充則要加上位移電流的貢獻，

完整的麥克斯韋方程當然不是邏輯推理的結果。盡管如此，力學版本的相對性原理，也要求完整的麥克斯韋方程中出現法拉第電磁感應和位移電流的貢獻。下面我們來演示一下。

(1) 法拉第電磁感應定律

在慣性參照系F中，考慮一個法線沿著方向的小電流環，其磁偶極矩m//，以速度

v

沿著 方向運動。以通過電流環中心的法線為

軸，建立柱坐標，定義軸向 、徑向 、繞著

軸的環向為 ，如圖2(a)所示。

圖2 (a)在慣性參照系F中，法線指向的電流環以速度

v

沿著 方向運動，考慮電場沿著半徑為

r

截距在

處的圓環的積分；(b)電荷

q

以速度

v

沿著 方向運動，考慮磁場沿著半徑為

r

截距在

處的圓環的積分

根據對稱性分析可知，電流環產生的磁場B呈繞

軸的對稱分布。設磁場的軸向、徑向、環向各分量為(

B

B

r，

B

θ)。如圖2(a)所示，取一個圓環，其軸線沿著 方向，半徑為

r

，在

軸上的截距為

。根據公式(17)，電場的軸向分量為零，即

E

x=0。如果環向

B

θ≠0的話，則電場會有徑向分量，即

E

r≠0。因此，電場對該圓柱面的電通量非零。這違反了高斯定律，從而

B

θ=0，

E

r=0。

把上述圓環平移Δ

，與其初始位置構成一個薄圓柱的底面。磁場對該圓柱面的通量為零，即：

其中d

A

是對圓柱橫截面的積分。則有。由公式(17)可得，環向的電場，即：

在(21)式的最后一步中出現了負號，這是因為在F參照系中，電、磁場E，B對時空的依賴以

vt

的形式出現，有。沿著圓環的邊緣對

E

做線積分，即可得出法拉第電磁感應定律(19)式。

(2) 位移電流

在參照系F中，如圖2(b)中所示，以電荷

q

的運動軌跡為

軸，建立柱坐標，定義軸向 ，徑向 ，環向為 ，電荷

q

產生的電場呈繞

軸的對稱分布，并設電場的三個分量為 (

E

E

r，

E

θ )。類似的，取一個圓環，其在軸上的截距為

。設想把該圓環平移Δ

，與其初始位置構成一個薄圓柱的底面。設電荷

q

不在這個圓柱之中，則通過該圓柱底面及側面的電通量為零。通過和上文類似的推理，得到徑向電場。根據(18)式，伴隨這個徑向電場

E

r 存在環向磁場。則有，

沿著圓環的邊緣對

B

做線積分，就得到(20)式中位移電流的貢獻。

05

總 結

我們提供了一種基于基礎電磁學來論證相對論時空變換的方法。在一個正交電磁場中，電荷和電流環(磁偶極)的漂移速度不可能都是物理上可實現的，否則將會出現在一個參照系中的勻速直線運動，在另一個參照系中變成了加速運動的情況。由此可以論證，在物理上可以實現的速度存在著一個普適上限

c

，它的值在原則上可以通過電荷和電流在穩恒電磁場中的受力來測量。

本文中的論證不需要以動態電磁場的法拉第電磁感應定律和麥克斯韋位移電流為前提，只需要如下很少的前提知識：

(1)在一個慣性參照系下做勻速直線運動的粒子，在另外一個慣性參照系下也做勻速直線運動。

(2)帶電粒子在電磁場中所受到的電力公式和洛倫茲力公式。公式(1)和(7)可以視為電場和磁場的定義。

(3)穩恒電、磁場的高斯定律以及穩恒電流的安培定律。它們在所有慣性參照系中都成立。

在相對論誕生120周年之際，我們對相對論進行重新思考并梳理其基礎。我們認為以這種方式來紀念和表達對他們的致敬，是很有意義的。

致 謝感謝復旦大學金曉峰教授的鼓勵。

附 錄 A

磁偶極矩和電偶極矩的對稱性

我們介紹一些背景知識。電場E和坐標類似，屬于極矢量，而磁場B和角動量類似，屬于軸矢量。更準確地說，軸矢量是二階反對稱張量，在三維空間中可以表達成兩個極矢量的叉乘。極矢量和軸矢量在空間旋轉操作下的變換性質是一樣的，但是它們在鏡面反射操作下的變換性質則是相反的。對于極矢量來說，其平行于鏡面的分量在反射下不變，而其垂直于鏡面的分量在反射下反向；對于軸矢量來說，其平行于鏡面的分量在反射下反向，而垂直于鏡面的分量在反射下不變。根據(1)式和(2)式，可得電磁場在時間反演下的變換性質。在時間反演變換下，力不變而速度反號，則E在時間反演不變而B反號。

因為磁偶極矩m產生磁場，而電偶極矩p產生電場。根據電磁場在鏡面反射和時間反演下的變換性質，可以得出，磁偶極矩m是軸矢量和電偶極矩p是極矢量。在時間反演變換下m反號，而p不變。

磁偶極矩m和電偶極矩p的值依賴于慣性參照系的選擇。盡管如此，我們仍然可以通過對稱性分析得到一些明確的結論。設慣性參照系F′相對于F以速度

v

運動，該速度沿著 方向。磁偶極矩和電偶極矩在參照系F中靜止，它們值分別為mp，它們在參照系F′中分別變為m

p

，如下圖所示。

參照系F′相對于參照系F沿著 方向運動。磁偶極矩m和電偶極矩p在參照系F中靜止。當它們變換到參照系F′時，如表1所示，可以分成四個對稱性類別。它們的縱向分量分成兩組 mx 和px各成一類，分別變換到其自身。它們的橫向分量可以分成兩類(my,

p

z)和(

m

z,

p

y)。同類別的分量之間可以變換，不同類別的分量之間則不會混合

該系統具有如下的分立對稱性：(1)對于

zx

平面的鏡面反射對稱性

zx

；(2)對于

xy

平面的鏡面反射對稱性

xy；(3)時間反演和繞著

y

軸旋轉180°的復合對稱性

R

y

(π)

T

。我們把磁偶極矩m和電偶極矩p在上述對稱性操作(1)，(2)，(3)下的對稱性質，列在表1。

表1 慣性參照系F′相對于F沿著方向運動，這個相對運動狀態分別在鏡面反射

zx

xy

以及時間反演和繞

y

軸旋轉π的復合操作

R

y

(π)

T

下保持不變。表中列出了磁偶極矩和電偶極矩的各個分量在這些變換下的奇偶性

根據表1所示的磁、電偶極矩的對稱性質，我們有以下的推論。

推論(I)：如果在F中m=0，p=0，則在F′中，仍然有m′=0和p′=0。論證如下。

該系統在表1中所示的三個變換之下都是不變。而m

p

的所有分量，都至少在一個變換下為反號，所以只能有m

=0和p

=0。

推論(II)：如果在F中m//以及p=0，則在F'中仍然有m

// 和p

=0。論證如下。

因為該系統具有繞著x軸的旋轉對稱性，則有m

p

// 。該系統也具有在復合操作

R

y(π)

T

下的對稱性，而

p

在此對稱變換下反號，因此p

=0。我們有m′≠0，否則的話，在F′中磁、電偶極矩都為零，則根據推論(I)，它們在F中也都是零。這與假設矛盾。

推論(III)：如果在F中p//以及m=0，則在F′中仍然有p

// 和m

=0。論證過程和推論(II)中類似，留給讀者作為練習。

附 錄 B

運動的電流環的受力分析

在正文中，我們根據如下事實，即在一個慣性系中靜止的物體在另外一個慣性系中做勻速直線運動，論證了圖(1)中電流環在參照系F中以速度

v

做漂移運動。在此基礎上建立了相對論的時空坐標變換之后，原則上就可以推導相對論性的力的變換，這里不再贅述。

我們來對電流環做一下受力分析。如下圖所示，設在參照系F中，磁場
，電場，滿足

B

z= ；電流環半徑為

r

，其法線沿著 方向，速度

v

也是沿著 方向，其中的電流為

。在角度

處取導線元dl= 。我們下面論證在參照系F中，運動的導線元所受的安培力為

先變換到跟隨電流環運動的隨動參照系S中，來分析導線元的受力。在此系中該導線元靜止，原時d

和參照系F中的時間間隔d

t

滿足。因此在參照系S中，電流環中的電流為

s =

γI

。在隨動參照系S中，極板靜止只產生電場沒有磁場。根據公式(16)可以得到其中的磁場Bs =0，電場，其中 =

在隨動參照系S中，因為磁場為零，則線元受安培力dFs=0。但是電場Es對線元的功率為

。根據相對論力的變換，該線元在參照系F中的受力dF僅有分量，即d

F

，其中是參照系F相對于參照系S的無量綱化速度，

=0是線元在S中無量綱化速度的 分量。則有：

（B1）

沿著電流環對線元做積分，可得：

（B2）

電流環所受到的力矩非零，為

（B3）

其中
，

A

是電流環的面積。在推導(B3)式的過程中，用到了恒等式

，以及

為什么在參照系F中，電流環受到非零的力矩τ，但是仍然保持勻速直線運動而且沒有轉動的狀態呢？這和磁矩在電場中存在的“隱藏動量”(hiden momentum)有關。在參照系S中，電流環的磁矩，電場。該電流環具有“隱藏動量”，其起源是相對論效應。詳情請參考D. J. Griffth的教材[11]，這里不再詳述。

當變換到參照系F中，該電流環的動量
，其中

P

對應于電流環沿著 方向的運動，是“隱藏動量”。則該電流環在參照系F中的軌道角動量LrP的時間變化率為，

其中用到了
。因為“隱藏動量”的緣故，運動的電流環的軌道角動量隨時間變化，這需要安培力來提供相應的力矩。

參照系F中存在正交電磁場。電流環處在

yz

平面中，其速度v沿著 方向。考慮其中一個小線元dl，其受到的安培力由公式(B1)給出

參考文獻

[1] Einstein A. Annalen der Physik，1905，322 (10)：891C921

[2] 金曉峰. 龐加萊的狹義相對論(1—5). 物理，2022，51(3)—2023，52(1)

[3] 伽利略. 關于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話. 上海：上海人民出版社，1974

[4] Yang C N. Physics Today，2014，67(11)：45

[5] Ignatowsky W V. Physikalische Zeitschrift，1910，11：972

[6] Mermin N D. Am. J. Phys.，1984，52：119

[7] Singh S. Am. J. Phys.，1986，54：183

[8] Pelissetto A，Testa M. Am. J. Phys.，2015，83：338

[9] 吳從軍. 物理，2025，54(2)：128

[10] Lorentz force. https://en. wikipedia. org/wiki/Lorentz_force_note-FOOTNOTENahin2002-5

[11] Griffth D J. Introduction to Electrodynamics. Cambridge University Press，2017. p.520

（參考文獻可上下滑動查看）

物理學漫談|吳從軍

《物理》50年精選文章