矩陣力學(xué)與波力學(xué)的等價性問題（上）

|作 者：曹則賢

(中國科學(xué)院物理研究所)

本文選自《物理》2025年第10期

每一個逆境都隱藏著一粒等價優(yōu)勢的種子1).

摘要1925年9月，玻恩和約當(dāng)構(gòu)造了矩陣力學(xué)，量子力學(xué)有了一種分立的形式；當(dāng)年底蘭佐施構(gòu)造了積分方程形式的量子力學(xué)，提出了量子力學(xué)形式的等價性問題。1926年薛定諤構(gòu)造了微分方程形式的量子力學(xué)——波力學(xué)，在分四部分的論文發(fā)表一半時專門發(fā)文討論了矩陣力學(xué)與波力學(xué)的等價問題。其后，泡利(文稿1973年才被發(fā)現(xiàn))、艾卡特、狄拉克以及狄拉克的導(dǎo)師福勒等人都有關(guān)于兩種量子力學(xué)等價性的論述。基于嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)的等價性探討見于馮·諾伊曼自1927年起的系列論文，最終體現(xiàn)于《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》一書中的系統(tǒng)闡述。矩陣力學(xué)與波力學(xué)都是本征值問題，最后歸為抽象希爾伯特空間內(nèi)在結(jié)構(gòu)的不同實(shí)現(xiàn)。矩陣形式、積分方程形式和微分方程形式都是量子力學(xué)發(fā)展過程中的必然形態(tài)，(狀態(tài))函數(shù)、矩陣、算符都是一個統(tǒng)一的量子力學(xué)的要素。

關(guān)鍵詞矩陣力學(xué)，波力學(xué)，等價性，積分方程形式，微分方程形式，本征值問題，量子條件，正則對易關(guān)系，外爾關(guān)系，抽象希爾伯特空間，同構(gòu)

0 引 子

在發(fā)表了分四部分的“量子化作為本征值問題”一文的第一、第二部分后(收稿日期分別為1926年1月27日和1926年2月23日)，薛定諤急忙提交了題為“論海森堡—玻恩—約當(dāng)?shù)牧孔恿W(xué)與我的量子力學(xué)之間的關(guān)系”的論文(收稿日期為1926年3月18日)，以下簡稱“論關(guān)系”，由此量子力學(xué)兩種表示的等價性證明成了量子力學(xué)研究的熱點(diǎn)問題。

薛定諤的微分方程形式與此前玻恩—約當(dāng)?shù)木仃囆问浇厝徊煌踔帘憩F(xiàn)出分立性與連續(xù)性的對立，自然會生發(fā)出這兩種理論是否等價的疑問。實(shí)際上在薛定諤的波力學(xué)之前，蘭佐施(Cornelius/Kornel Lanczos，1893—1974)給出過積分方程形式的量子力學(xué)，并提出了基于分立性和連續(xù)性表示的不同量子力學(xué)之間的等價性問題，可惜蘭佐施的量子力學(xué)在一般量子力學(xué)文獻(xiàn)中被忽視了，原因不明。其實(shí)，所謂的微分方程形式量子力學(xué)與矩陣形式的量子力學(xué)的等價性證明，到底還是馮·諾伊曼用積分核理論收官的，由此可見積分方程版的量子力學(xué)的價值。

系統(tǒng)地研究兩種量子力學(xué)等價性的原始論文有助于理解量子力學(xué)的思想基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。此外，仔細(xì)研讀這個量子力學(xué)初創(chuàng)階段的原始論文，大約還可以看清玻恩、約當(dāng)創(chuàng)造的矩陣力學(xué)是怎么被安到海森堡頭上的過程。量子力學(xué)是玻恩1924年創(chuàng)立的。量子力學(xué)及其矩陣形式(Born—Jordan)、積分方程形式(Lanczos)與微分方程形式(Schr?dinger)，至少就概念、構(gòu)建過程與內(nèi)容來看，有所不同至少是各有側(cè)重才是合理的。今天我們學(xué)習(xí)的量子力學(xué)可以看作是馮·諾伊曼公理化以后具有堅(jiān)實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的統(tǒng)一的量子力學(xué)(unified quantum mechanics)，這或許才是1923/1924年玻恩期待的超越原子力學(xué)(Atommechanik)的那個新力學(xué)，矩陣力學(xué)、波力學(xué)以及積分方程形式的量子力學(xué)，還有后來的路徑積分版的量子力學(xué)，都是量子力學(xué)的不同形態(tài)或不同方面。

1蘭佐施的量子力學(xué)與等價性問題

蘭佐施是匈牙利人，數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，被譽(yù)為火星人。1921年，蘭佐施以相對論研究在匈牙利獲得博士學(xué)位，他把學(xué)位論文作為致敬愛因斯坦之作，愛因斯坦欣然接受，稱贊其含有充分的、原創(chuàng)的腦力勞動。蘭佐施1921—1924年間在德國弗萊堡大學(xué)任教，1924—1931年間在德國法蘭克福大學(xué)任教，1928—1929年間在柏林大學(xué)做過愛因斯坦的助手。后來，蘭佐施移居美國，1931—1946年間在普渡大學(xué)任教。蘭佐施是一個對經(jīng)典力學(xué)格外通透的人，故而對相對論和量子力學(xué)都有卓越的貢獻(xiàn)，前者是指他第一個給出了柱對稱下的愛因斯坦場方程的解，后者是指他第一個構(gòu)造了積分方程形式的量子力學(xué)。

在玻恩—約當(dāng)發(fā)表了矩陣力學(xué)之后僅僅三個月，蘭佐施就在1925年底構(gòu)造了積分方程版的量子力學(xué)[Kornel Lanczos，über eine feldm??ige Darstellung der neuen Quantenmechanik(新量子力學(xué)的場表達(dá)),

Zeitschrift für Physik

35, 812—830(1926)]。這篇文章的收稿日期為1925年12月22日，在薛定諤的波力學(xué)論文之前。這篇文章構(gòu)造了新量子力學(xué)的連續(xù)形式，證明了矩陣版與連續(xù)形式的量子力學(xué)的等價性。可惜的是，蘭佐施用的是線性積分方程的形式，這當(dāng)然不是缺乏數(shù)學(xué)物理功底的普通物理教授能接受的，故而蘭佐施的量子力學(xué)鮮為人知。所幸，當(dāng)時還有狄拉克這樣的博士生(1926年狄拉克才拿到博士學(xué)位)能讀懂蘭佐施的論文，Wikipedia “The principle of quantum mechanics”詞條云：“狄拉克從一篇蘭佐施的用線性積分方程理論表示量子力學(xué)的論文中得到了啟發(fā)[He (Dirac) was also inspired by a paper published by Cornelius Lanczos presenting quantum mechanics in terms of the theory of linear integral equations]”。蘭佐施上世紀(jì)30年代在普渡大學(xué)教授矩陣力學(xué)和張量分析，算是世界上不多的教授矩陣力學(xué)的實(shí)踐。

[內(nèi)容摘錄]

海森堡—玻恩—約當(dāng)?shù)男铝孔恿W(xué)理論與積分方程有密切的關(guān)系。運(yùn)動方程和量子條件可以用積分方程的形式寫下來。可以得出一個與非連續(xù)表述等效的連續(xù)表述，因?yàn)閮烧咧g存在唯一的對應(yīng)。就理論的原理性詮釋而言(für die principielle Deutung der Theorie)積分表述更優(yōu)，其與物理學(xué)的場表示形式直接相契合。

§1 導(dǎo)言

海森堡的影響深遠(yuǎn)的思考過程對量子研究具有劃時代的意義。在接下來的對新思想的拓展中，玻恩和約當(dāng)成功地將海森堡的理念在更廣泛的意義上賦予了恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)，并為新理論提供了一般性的形式基礎(chǔ){這才是科學(xué)研究的高境界}。由此得到了一個邏輯地構(gòu)造的非連續(xù)理論，對此經(jīng)典概念只有與之相對應(yīng)的以及作為啟發(fā)式路標(biāo)的意義。新理論從一開始就是走自己的路，其與舊符號在嶄新的意義上相聯(lián)系(mit den alten Symbolen einen vollst?ndig neuen Sinn verknüpft){知道這一點(diǎn)對我們學(xué)習(xí)量子力學(xué)很重要}。量子論的原理性基礎(chǔ)由此得到了難以想象的深化。

在海森堡—玻恩—約當(dāng)理論和積分方程理論之間可以建立起格外簡單、漂亮的聯(lián)系。我們會看到，所有的新理論的結(jié)果可以用積分方程的形式表示，而對于習(xí)慣于用分析工具工作的物理學(xué)家來說后者比矩陣表述更顯親近。同時我們還會建立起一個連續(xù)的表述，那是描述事實(shí)所關(guān)切的，其與非連續(xù)表述之間有唯一的對應(yīng)。但是，就對事實(shí)的詮釋而言，這是量子的實(shí)質(zhì)所關(guān)切的，不排除積分表述超越矩陣表述。前者具有同場表述直接相契合——干脆就是建立于其上——的優(yōu)點(diǎn)，而場的概念明顯與非連續(xù)表述有些距離。

設(shè)想有一個任意大小、任意維度的有限閉合區(qū)域，我們將此區(qū)域中的任何一點(diǎn)的所有坐標(biāo)簡短地用一個字母，比如“

s

”表示。在這個區(qū)域中，存在一個完備正交本征函數(shù)集

i (

)，其屬于一個非簡并的對稱的(積分)核

K(s

K

s

)。

f

s

)是一個依賴于兩個點(diǎn)

s

的至少 是分段連續(xù)的函數(shù)，具有所謂核函數(shù)的特征。我們考察這個函數(shù)對

s

的依賴關(guān)系，為此保持

不變，可以根據(jù)本征函數(shù)

i(

)展開，所得的展開系數(shù)仍依賴于

，展開式為

a

i (

)也按照本征函數(shù)展開：

這樣就得到了如下的函數(shù)表示：

其中的每一個

a

ik 都可由在這個區(qū)域上的二重積分得到：

可以把

a

ik 寫成無窮矩陣的形式。矩陣a可以看作是函數(shù)

f

s

) 的完全表示，因?yàn)榻o定了矩陣

a

ik，函數(shù)

f

s

) 可以在公式(A3)的意義上構(gòu)建出來。另一方面，函數(shù)

f

s

)也可以看作是矩陣a的表示，因?yàn)橥ㄟ^在公式(A4)意義上的積分可以直接計(jì)算出矩陣元

a

ik 。

§2 對應(yīng)場積分的矩陣操作

在矩陣的非連續(xù)圖像與至少一般來說是連續(xù)的函數(shù)

f

s

) 之間存在一個唯一確定的對應(yīng)。進(jìn)一步地，可以為對理論有意義的全部矩陣操作安排相應(yīng)的針對函數(shù)的操作。

(a)矩陣的對角元之和。構(gòu)造如下的積分：

可見全域上的場積分

對應(yīng)對角元之和{即矩陣的跡}。

(b)矩陣積。由函數(shù)

f

s

) 和

g

s

) 通過積分構(gòu)造如下函數(shù)：

此為兩個函數(shù)的場積(Feldprodukt)，可簡記為

也就是

為矩陣乘法。

(c)符號微分。任意多個因子的場積簡記為

構(gòu)造積分：

這個式子是循環(huán)的，可以記為

現(xiàn)在構(gòu)造積分(A11)的變分，改變其中的一個函數(shù)，比如

r

另一方面，我們想將變化

r

所引起的積分的變分寫成如下形式：

與(A14)式比較，得：

若多個因子相等，則(做變分時)我們要對每一個單獨(dú)的因子構(gòu)造對應(yīng)的積，并求和。

比較這里的微商構(gòu)造與玻恩—約當(dāng)論文{M. Born, P. Jordan, Zur Quantenmechanik(走向量子力學(xué))，

Zeitschrift für Physik

, 34, 858—888(1925)}中相應(yīng)的矩陣的規(guī)則，可以直接看到兩者完全吻合。

(d)對時間的導(dǎo)數(shù)。表征動力學(xué)的矩陣p,q在玻恩—約當(dāng)那里是當(dāng)作時間函數(shù)處理的，每一個矩陣元都包含一個因子e2πi

ik

t

{絕大部分量子力學(xué)書籍都不知道這一點(diǎn)，因?yàn)椴６鳌s當(dāng)那里為了簡記把這項(xiàng)省略了。各位讀者如果不信，可以拿出手邊的量子力學(xué)書比對一下。補(bǔ)充一句，因?yàn)檫@個因子來自傅里葉分析，矩陣元的指標(biāo)須從(00)開始！}。對于接下來的非連續(xù)理論，引入一個連續(xù)變換的參數(shù)以及連續(xù)依賴于這個參數(shù)的函數(shù)顯然不是有意的。實(shí)際上在后來的理論構(gòu)造中沒用到這個時間依賴，引入這個時間依賴只有一個目的，即為了能將哈密頓運(yùn)動方程的左側(cè)詮釋為時間導(dǎo)數(shù)。實(shí)在來說，這個運(yùn)動方程根本不是關(guān)于字面意義 上的任何運(yùn)動的(In Wirklichkeit handelt es sich aber bei diesen “ Bewegungsgleichungen ” gar nicht um irgend eine “ Bewegung ” in dem Sinne des Wortes …)——即將某個量確定為時間的函數(shù)——它更多地是表達(dá)兩個其元素僅僅是數(shù)的矩陣的支配方程(Bestimmungsgleichung)。從一開始用“時間”一詞，以及看起來很合邏輯地根據(jù)定義安排“時間導(dǎo)數(shù)”，可不是故意的。取代“時間導(dǎo)數(shù)”的說法，我們寧愿說“點(diǎn)導(dǎo)數(shù)”，因?yàn)槲覀儗⒂蒙厦婕狱c(diǎn)來表示。當(dāng)我們給矩陣元

a

ik乘上

ik

ik是量子論的頻率，就得到了“加點(diǎn)的矩陣” 。在玻恩—約當(dāng)那里還有一個2πi因子，因此會有讓人不舒服的、多余的虛的量，看不出有什么內(nèi)在必要性(innere Notwendigkeit){這個觀點(diǎn)可錯到家啦}。為了丟掉這個因子，我們定義“加點(diǎn)”為對2πi

t

而非對

t

的導(dǎo)數(shù)。

現(xiàn)在，

ik 表示兩項(xiàng)之差：

“加點(diǎn)的矩陣”可分解成兩個矩陣之差：第一個的每一行乘上，第二個的每一列乘上。這個操作在泛函表示那里對應(yīng)什么？

由函數(shù)

f

s

) 和屬于本征函數(shù) 的對稱核函數(shù)

K

s

) 構(gòu)造如下的積：

將順序顛倒，如下的結(jié)果成立：

可見函數(shù)“加點(diǎn)”簡單地意味著如下操作：

“加點(diǎn)”又回歸同對稱核函數(shù)

K

s

) 之間的乘積。由此直接得到本征值

i同能級

W

i之間的關(guān)系：

即能級

W

i 除以

h

脫殼而出(sich entpuppen)對稱核函數(shù)

K

s

)的本征值之倒數(shù)。

在為所有的基本矩陣操作找到了對應(yīng)的積分表示的操作——每次都是執(zhí)行一個場積分——以后，我們可以著手建立動力學(xué)基本方程了。

§3 積分方程作為動力學(xué)基本方程

因?yàn)榫仃囆问降倪\(yùn)動方程是從變分原理推導(dǎo)出來，這對于確定相應(yīng)的函數(shù)

p

s

)和

q

s

)也成立。設(shè)想有一哈密頓函數(shù)：

寫出如下的函數(shù)：

或者在方程(A2)的意義下寫成：

構(gòu)造如下的場積分：

期望此積分隨函數(shù)

p

s

)和

q

s

) 的自由變分會達(dá)到極值，即對于每一個

δp

δq

有：

先對

p

變分，

再看對

q

的變分，為此要在前兩項(xiàng)進(jìn)行循環(huán)交換，得：

δI

對于任意的

δp

δq

為0，則積分符號里的因子應(yīng)恒為0，可得到確定函數(shù)

p

s

)和

q

s

)的方程為如下的積分方程：

§4 量子條件

新理論的實(shí)質(zhì)性構(gòu)成部分，除了動力學(xué)基本方程外，還有量子條件，根據(jù)玻恩—約當(dāng)此條件為
。為了表示成積分形式，只需要為單位矩陣1找到對應(yīng)的函數(shù)

E

s

此被稱為單位核。

玻恩—約當(dāng)量子化條件對應(yīng)如下的積分方程：

因子2πi因?yàn)榇饲拔覀冴P(guān)于“加點(diǎn)”函數(shù)的定義去掉了。

單位核有如下值得關(guān)注的行為。對于

s

，其為0；而在點(diǎn)

s

上為無窮大{這個函數(shù)后來被稱為狄拉克

-函數(shù)，是理解量子力學(xué)的關(guān)鍵}，且有:

{似應(yīng)為
}。

對于函數(shù)(

pq-qp

)有：

我們看到函數(shù)

p

q

不能在整個區(qū)域內(nèi)到處都是有限的，否則積

pq

qp

就到處是有限的。如果函數(shù)

p

s

q

s

)到處都是有限的，則玻恩—約當(dāng)量子條件就不能完全精準(zhǔn)地而只能是任意近似地成立(nicht mit voller Sch?rfe, sondern nur mit beliebiger Ann?herung gültig sein)。

方程(A31)的論斷可以實(shí)際上等價地用如下論斷替代。考察函數(shù)(

pq-qp

s

)對點(diǎn)

的依賴關(guān)系，而將點(diǎn)

s

固定。這個函數(shù)應(yīng)該在除了繞點(diǎn)

的一個小球之外皆為0。在這個小球內(nèi)可以取常數(shù)值

h

是小球的體積。這個表述中，玻恩—約當(dāng)?shù)牧孔訔l件近似地得到滿足，但函數(shù)

p

q

無需增長至無窮大。

此外，“精準(zhǔn)的”玻恩—約當(dāng)量子條件也可以這樣表達(dá)，繞過單位核的奇異行為。為此要引入同核

K

s

)的乘積，得到積分形式的量子條件：

§5 場表示與矩陣表示的比較

因?yàn)榫仃嚺c我們的表示所用的核函數(shù)之間的清晰關(guān)系，把基本方程寫成積分方程的形式還是對應(yīng)的矩陣方程形式，這對問題的形式處理來說是等效的。針對具體的數(shù)學(xué)問題的種類，某個表示形式可能更優(yōu)。可是，對于量子理論的原理性理解來說，我們注意到了兩種表示方式的區(qū)別。在矩陣表示那里，當(dāng)哈密頓量給定時，問題是完全確定的。這足以計(jì)算

p

q

的矩陣，此外還有

W

i 的值。借助量子條件這些也能確定下來。在場表示那里，我們同樣可以從哈密頓原理出發(fā)。在此原理中，除了哈密頓函數(shù)以外，作為實(shí)質(zhì)上的組成部分還有一個對稱核函數(shù)

K

s

) 。這個核函數(shù)可以從外部代入問題中，哈密頓原理和由其而來的動力學(xué)方程只能用于確定函數(shù)

p

q

，它們在執(zhí)行變分時被當(dāng)作未知函數(shù)，而核函數(shù)

K

s

) 必須事先給定。除了哈密頓函數(shù)以外還要給定

K

s

) ，問題才是確定的。在矩陣表述中只出現(xiàn)這個核的本征值，相關(guān)聯(lián)的正交本征函數(shù)集可以是不定的。這是由于所得積分方程的如下特性，即若使用另一個具有不同本征函數(shù)但本征值不變的核，積分方程是不變的。將正交函數(shù)集

i(

s

)當(dāng)作核的某種坐標(biāo)，則可以說我們的方程對于任意正交坐標(biāo)變換是不變的。從矩陣方程就無法關(guān)于構(gòu)造函數(shù)

i(

s

)說點(diǎn)兒什么。

由此就兩種表示方式的原則性評價產(chǎn)生了如下景象。如果所有的物理事實(shí)原則上只能提供矩陣元，則矩陣表示為佳(至少從實(shí)證主義觀點(diǎn)看來)，它不為事實(shí)的描述帶入原則上不可到達(dá)的元素(prinzipiel unerreichbares Element)。但是，當(dāng)核(函數(shù))具有物理意義時，場表示是更合適的，而矩陣表述因?yàn)橹荒芙o出核的本征值而本征函數(shù)集卻懸而未決，故能提供的會少一些。

如果使用第二個方案，核函數(shù)必須比如通過一個微分方程事先給定，不光是指本征函數(shù)，還有本征值。動力學(xué)方程用于決定函數(shù)

p

q

, 問題就算解決了。將解塞入量子條件不過是得到一個恒等式。在這種表示中，量子條件不是作為對動力學(xué)方程的補(bǔ)充，而是作為核的一個內(nèi)在性質(zhì)出現(xiàn)的。這說的是本征值的一個性質(zhì)，即此關(guān)系可以用來計(jì)算本征值，盡管這關(guān)系是從一個別的也許事先未知的方面定義的。

從以下可知這個表示不是沒理由的。運(yùn)動方程構(gòu)成了一個用以確定

p

q

矩陣的二階無窮流形，對應(yīng)矩陣的∞ 2 矩陣元，其中出現(xiàn)的矩陣值

i

(或與其緊密聯(lián)系的量

W

i

)構(gòu)成一個一階無窮的數(shù)列。某種意義上得到的是作為

i函數(shù)的

p

ik,

q

ik。利用量子條件來敲定量

i。實(shí)際上量子條件只意味著是 一個一階無窮的方程序列，因?yàn)楦鶕?jù)運(yùn)動方程矩陣pq

qp是對角的，它只決定對角元的值。

在新力學(xué)的場表示中出現(xiàn)了一個標(biāo)量場積分(skalares Feldintegral)作為最高作用原理(oberstes Wirkungsprinzip)，在此關(guān)系中完全對應(yīng)我們在場論中習(xí)慣的那些內(nèi)容。核函數(shù)

K

s

)的出現(xiàn)也不應(yīng)看作原則上新的、不能找到天然詮釋的現(xiàn)象。設(shè)想由作用原理出發(fā)決定電磁場中的電荷分布及電流分布，電磁四矢量也進(jìn)入其中。這個勢必須借助一個由電荷分布作為源的對稱核來表示。核可通過場方程構(gòu)造，其將矢量勢與電荷分布相聯(lián)系{有意者參閱該作者的Zum Wirkungsprinzip der allgemeinen Relativit?tstheorie (廣義相對論的作用原理)，

Zeitschrift für Physik

32, 163—172(1925)一文}。

然而，這里關(guān)切的不是一個標(biāo)量的而是一個張量的核，其以張量的形式依賴于區(qū)域內(nèi)的兩個點(diǎn)

s, σ

。在電磁學(xué)問題中，類似地關(guān)切的是一個矢量核。此處表示的理論的一般邊界可以延伸，直接地移植到矢量核或者任意張量核的情形，只是所求的

p, q

函數(shù)須是同樣性質(zhì)的核。

以矢量核為例，用

K

α (

s

) β 表示，指標(biāo)

α, β

分屬點(diǎn)

s, σ

，以說明對點(diǎn)的依賴是矢量的。對稱性條件為

關(guān)于這樣的核有一個無限的本征矢量集，任何一個“矢量核函數(shù)(vectorielle Kernfunktion)”

f

α(

s

)β 可用本征矢量展開，

在矩陣與核函數(shù)之間存在明確的對應(yīng)。所謂的對角和對應(yīng)如下的場積分：

其中

g

μν 是度規(guī)基本張量，對指標(biāo)

μ, ν

要進(jìn)行求和。兩個函數(shù)的場積可如此構(gòu)造：

{此公式里的兩個

g

是不同的東西}動力學(xué)基本方程和量子條件也用積分方程的形式給出，不過現(xiàn)在歸于“矢量的”一類，或者一般地屬于“張量的積分方程”{可參見該作者的über tensorielle Integralgleichungen(論張量積分方程)，

Mathematische Annalen

95,143—153(1925)}。一般性理論都可以毫無困難地拓展到矢量或張量場。

新理論里的由作用原理所確定的函數(shù)不是普通意義上的函數(shù)，而是依賴于區(qū)域內(nèi)兩個點(diǎn)的核函數(shù)。如何物理地理解這個，事先沒啥好說的，而是問題的進(jìn)展為我們提供關(guān)于形式理論與物理現(xiàn)象之間的對應(yīng)的靠譜結(jié)論。從讓整個理論與我們的場表示完全一致的可能性，我們相信應(yīng)該得出結(jié)論，我們?yōu)榱送耆斫饬孔訂栴}而對經(jīng)典觀點(diǎn)的修正必須走一條完全不同的路線，而非好象它是由連續(xù)性與非連續(xù)性之間的矛盾所表征的且量子奧秘的解答應(yīng)該與幾何或者微積分的量子轉(zhuǎn)義沒啥關(guān)系似的(Soviel glauben wir aber doch aus der M?glichkeit, die ganze Theorie mit unseren feldm??igen Vorstellungen in volle übereinstimmung zu bringen, folgern zu dürfen, da? die Modifikationen, die wir an unseren klassischen Anschauungen vorzunehmen haben, um zum Verst?ndnis der Quantenprobleme zu gelangen, auf einer ganz anderen Linie liegen müssen, als da? sie etwa durch den Gegensatz zwischen Kontinuum und Diskontinuum zu charakterisieren w?ren und da? die L?sung des Quantengeheimnisses kaum irgend etwas mit einer quantenm??igen Umdeutung der Geometrie oder der Infinitesimalrechnung zu tun haben dürfte)。{閱讀這些德語的量子論/量子力學(xué)原文獻(xiàn)，真的是一種享受與折磨的疊加態(tài)。以上述這么長長的一句為例，不要指望別的什么工具能幫上忙。}

補(bǔ)充部分

I.矩陣與核函數(shù)的一般關(guān)系。矩陣a和核函數(shù)

f

s, σ

)之間關(guān)系已通過正交函數(shù)集在公式(A3)的意義上建立起來。該理論可以實(shí)質(zhì)性地推廣，使其看起來適合深度窺視支配關(guān)系，此外還有可消除對稱核特殊地位的優(yōu)點(diǎn)。對稱核的特別性質(zhì) 可以移植到一般的核(函數(shù))上面。

除了函數(shù)集

i (

s

)以外，再引入第二個函數(shù)集

i(

s

)(后面會看到為什么這里是下標(biāo))。將矩陣元記為

a

ik，定義從屬于矩陣的函數(shù)

f

s, σ

)為

函數(shù)

i (

s

)和

i(

s

)此時無需是正交的。為了使矩陣操作對應(yīng)同樣的場積分,兩個函數(shù)集必須這樣耦合：

若兩個函數(shù)集是同一個，則這個方程就是

i (

s

)的正交關(guān)系和歸一化。

推廣是從對稱核的本征函數(shù)理論到對應(yīng)的一般非對稱核的理論。設(shè)有一個核

K

s, σ

)，不滿足對稱條件

K

s, σ

K

σ, s

)，則除了通過方程

定義的本征函數(shù)集

i (

s

)以外，還可以構(gòu)造一個屬于轉(zhuǎn)置的核

K

s

K

σ, s

)的第二個函數(shù)集：

本征值

i 在這兩種情形中是相同的。容易看到，對應(yīng)兩個不同本征值

i，

k的函數(shù)

i，

k由相聯(lián)系。尚未確定的歸一化按方程進(jìn)行，不過兩個歸一化因子中的一個還是可自由選擇的。其實(shí)，函數(shù)集

i(

s

i(

s

)就是屬于一般性核

K

s, σ

)的兩個本征函數(shù)序列。

前面我們已經(jīng)指出，不管是基于對稱核

K

s, σ

)的哪個本征函數(shù)集構(gòu)造的，因?yàn)橹挥斜菊髦?blockquote id="425UQ5I7">

i

對于表示是有意義的，故理論的矩陣表述都是等效的。關(guān)于一般性的核也可以這么說。可以從函數(shù)集

i(

s

)到一個新的函數(shù)集變換，

與此同時，同樣地變換：

為了使得正交關(guān)系和歸一化條件(A40)在新的函數(shù)集下成立，如下關(guān)于量

α, β

的條件方程必須成立：

由此可見表達(dá)式
是變換不變量，

這個結(jié)果可以表達(dá)如下：當(dāng)我們從(非對稱核的)一個本征函數(shù)集通過線性變換變到另一個本征函數(shù)集時，其一個系列如無窮多維空間上矢量的協(xié)變分量那樣變換，另一個系列如逆變分量那樣變換。

現(xiàn)在看來有理由把函數(shù)集

i (

s

i(

s

)分別用上標(biāo)和下標(biāo)表示，且把

i當(dāng)作逆變的而把

i當(dāng)作協(xié)變的。相應(yīng)地，矩陣

a

ik的矩陣元可看作是一個無窮多維空間中的二階張量的混合分量{原文如此。似應(yīng)是“二階混合張量的分量”}。

通過過渡到非對稱核我們不再單單地綁定一個正交變換(這里區(qū)別協(xié)變和逆變沒有意義)，而是有更多的一般線性變換可用，我們可用一個“主軸變換(Hauptschsentransformation)”將非對稱核弄成正交形式。核的本征函數(shù)對此會起作用。作為對對稱核那里成立的雙線性公式(Bilinearformel)的推廣有如下關(guān)系：

將某個函數(shù)

f

s

)根據(jù)一個非對稱核的逆變函數(shù)展開——前提是這個展開確實(shí)可能——如下公式成立：

根據(jù)協(xié)變函數(shù)展開的公式與此類似。

在量子力學(xué)中出現(xiàn)的函數(shù)

p

s, σ

q

s, σ

)具有若將

s, σ

調(diào)換會變?yōu)橄鄳?yīng)的復(fù)共軛的性質(zhì)。對于這些核，協(xié)變函數(shù)簡單地就是為取復(fù)共軛值的逆變函數(shù)。這樣的核的本征值始終是實(shí)的。

II.走向量子條件。積分方程理論的方法從一開始就指明了特征的獨(dú)特之處(charakteristische Eigentümlichkeit)，將無窮維矩陣看作有限維矩陣的極限，可以借此逐次逼近。如果核

K

s, σ

)的雙線性展開中從某一高

n

項(xiàng)算起可忽略，對我們的理論也可采用這樣的有限近似。若雙線性級數(shù)一致收斂，這總是可以的。這就要求

n

從某個足夠 大的

n

開始一致地趨近無窮大。因?yàn)?blockquote id="425UQ5J2">i的倒數(shù)(不考慮共有的因子)就是量子態(tài)的能級，這意思也就是說對于足夠大的量子數(shù)，項(xiàng)

W

i 必須趨于0。在譜線系那里，

W

n是 量級的，事實(shí)上是滿足的。在海森堡以及玻恩—約當(dāng)處理過的諧振子例子當(dāng)中，出現(xiàn)的則是另一種行為。這里能級隨量子數(shù)趨于無窮。在這種情形下無法構(gòu)造可用其全體(in seiner Gesamtheit)表征體系的核

K

s, σ

)。這里挑明的數(shù)學(xué)困難不可歸于方法的不恰當(dāng)，其也指向從物理觀點(diǎn)看來也是有道理的不可理解(gerechtfertigte Unzug?nglichkeit)。無窮大的能級總是物理無意義的(Unendlich gro?e Energieniveaus sind jedenfalls auch physikalisch sinnlos)。這里，任意趨于無窮大的能級也必須排除。在何處為系統(tǒng)設(shè)置一個邊界，無法先驗(yàn)地預(yù)知，實(shí)踐上也無意義。這是新量子力學(xué)的特點(diǎn)，單個的量子態(tài)不能獨(dú)立于其他的狀態(tài)被確定，而是作為整體建立起動力學(xué)的系統(tǒng)(das dynamische System als Ganzes festzulegt)。量子態(tài)某種意義上是互相耦合的(Die Quantenzust?nde sind gewisserma?en “gekoppelt” untereinander)。不過可以假設(shè)，最終量子數(shù)離得越遠(yuǎn)，耦合就越弱。高量子數(shù)的量子態(tài)對低量子數(shù)的狀態(tài)不再有實(shí)質(zhì)性的影響(die Quantenzust?nde mit hohen Quantenzahlen die Zust?nde niedriger Ordnung nicht mehr wesentlich beeinflussen)。當(dāng)我們將非常高的量子態(tài)的特征量忽略，可以得到系統(tǒng)的一個漸近表示。

運(yùn)動方程不以矩陣有限還是無限為前提。但是，如果論及量子條件的表述，就會遭遇一個困難。前已指明，“精準(zhǔn)的”玻恩—約當(dāng)條件與各處有限的

p

q

-函數(shù)不相容。用有限維pn ，qn矩陣寫下如下形式的量子條件：

馬上就產(chǎn)生矛盾，因?yàn)橥ㄟ^主軸變換可以將矩陣qn對角化，則等式左邊的對角線上為0，而右側(cè)卻要求是1。

實(shí)際上這個矛盾無從避免。文章接下來討論如何避免這個矛盾，但結(jié)論是暫時沒有好的方案(略)。

2薛定諤的等價性證明

薛定諤的“論關(guān)系”一文我倒是寧愿解讀為對波力學(xué)算子代數(shù)的使用說明。在正經(jīng)大學(xué)的正經(jīng)物理系正經(jīng)地學(xué)習(xí)過量子力學(xué)的人大部分都知道

p

x =-i

??

x，但是能在方程=0中把它用對了也不是那么容易。薛定諤“論關(guān)系”一文中的大部分內(nèi)容是一般的量子力學(xué)教科書不提的；至于玻恩—約當(dāng)，玻恩—海森堡—約當(dāng)，狄拉克，泡利的四篇矩陣力學(xué)經(jīng)典論文的內(nèi)容(參見本系列的“矩陣力學(xué)”一篇)，一般量子力學(xué)教科書更是懶得提及。教學(xué)的要求低到泥地，卻指望受教育者未來是科學(xué)領(lǐng)域開疆拓土的巨擘，確實(shí)有點(diǎn)兒強(qiáng)人所難。

薛定諤的“論關(guān)系”一文是他的波理論的重要組成部分。

[內(nèi)容摘錄]

§1引言與摘要

就海森堡{薛定諤此處有腳注，此為對玻恩—海森堡—約當(dāng)?shù)暮営泒的量子力學(xué)與波力學(xué)或曰物理力學(xué)(undulatorische oder physikalische Mechanik)在出發(fā)點(diǎn)與表述范圍的巨大差別來看，它們至今已知的結(jié)果就同老量子論的偏離而言是一致的，這確屬罕見。一個特別的例子是(得出)振子和轉(zhuǎn)子問題里的半整數(shù)量子數(shù)。容易注意到兩種力學(xué)在出發(fā)點(diǎn)、表示(方式)、方法以及全部的數(shù)學(xué)工具都那么不同，它們同經(jīng)典力學(xué)的偏離也是南轅北轍。在海森堡那里，經(jīng)典力學(xué)變量被分立的數(shù)字體系(矩陣)所取代，該矩陣用整數(shù)指標(biāo)標(biāo)記，由代數(shù)方程確定。該理論的作者們說那是真正的非連續(xù)理論(wahre Diskontinuumstheorie)。波力學(xué)則從經(jīng)典力學(xué)往連續(xù)理論方向又邁出去一步。用有限多獨(dú)立變量通過有限多全微分方程可描述的事件被一個在構(gòu)型空間上的連續(xù)的、類場的事件(kontinuierliches feldm??iges Geschehen)所取代，其可由一個由作用量原理導(dǎo)出的偏微分方程所支配。這個作用量原理和偏微分方程替代老經(jīng)典量子論(?ltere klassische Quantentheorie)里的運(yùn)動方程和量子條件。{在這里，薛定諤加了一個惹出故事的注:“我的理論受德布羅意的學(xué)位論文和愛因斯坦的簡短但有無限深意的論文(

Berl. Ber.

1925, S. 9ff.)的啟發(fā)(引文似乎有誤)。同海森堡理論的出身上的聯(lián)系我根本無感。我當(dāng)然懂他的理論，但它的在我看來很困難的超越代數(shù)方法以及缺乏直觀性(Mangel an Anschaulichkeit)讓我感到喪氣，如果不是排斥”。 海森堡估計(jì)讀到了這句話。他在6月8日給泡利的明信片上寫道：薛定諤所說的Anschaulichkeit就是屎。}

接下來是對海森堡量子力學(xué)和波力學(xué)之間的非常親密的內(nèi)在聯(lián)系(der sehr intime innere Zusammenhang)的發(fā)現(xiàn)之旅。從形式數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，可以說這個關(guān)系可視作等同(als Identit?t zu bezeichnen)。

海森堡的理論將量子問題的解系于求解一個無窮代數(shù)方程組，其變量，即無窮維矩陣，會被賦予力學(xué)系統(tǒng)的經(jīng)典坐標(biāo)、動量及它們的函數(shù)，遵從獨(dú)有的運(yùn)算法則(eigenartige Rechengesetze befolgen)。先看看如何賦予(Zuordnen,分派)每一個坐標(biāo)、動量的函數(shù)一個矩陣，使其總是遵從玻恩—海森堡的形式運(yùn)算法則(包括量子條件和交換規(guī)則)。這個為函數(shù)賦予矩陣的操作是一般性的，與具體的力學(xué)系統(tǒng)無關(guān)。這個分派又是高度不確定的，其借助于任意的、定義在整個構(gòu)型空間上的完備正交函數(shù)集。

求解表征特定問題的特定代數(shù)方程組——其將位置和動量的矩陣同哈密頓函數(shù)的矩陣相聯(lián)系，作者們稱為運(yùn)動方程——只需將中介的角色賦予指定的正交系，也即構(gòu)成我的波力學(xué)之基礎(chǔ)的偏微分方程的本征函數(shù)，即可完全做到。這個微分方程的自然邊界問題的解與海森堡的代數(shù)問題的解完全等價。所有海森堡的矩陣元，據(jù)信其可以確立躍遷概率或譜線強(qiáng)度，只要邊界問題可解，確實(shí)可以通過微分和二次型算出來。這些矩陣元，在波力學(xué)里有一個完全直觀的意義，即原子的電偶極矩的分振動振幅。發(fā)射光的強(qiáng)度與偏振可在麥克斯韋—洛倫茲理論的基礎(chǔ)上加以理解。

§2 給良序函數(shù)符號分派算符與矩陣，建立乘法規(guī)則

構(gòu)造矩陣的出發(fā)點(diǎn)為，關(guān)于兩組

n

個量

q

1 ,

q

2, …

q

n

p

1,

p

2, …

p

n

的函數(shù)的海森堡運(yùn)算規(guī)則，根據(jù)常規(guī)的數(shù)學(xué)分析，適用于在單一一組變量

q

1,

q

2, …

q

n

上的線性微分算符。在函數(shù)中將每一個

p

l用算符?/?

q

l替代。對于任何

m

l

，?/?

q

l替與

q

m是對易的。對于任何

m

l

，對易式

作用到

q

k 的任意函數(shù)上重現(xiàn)該函數(shù)，也即該算符為恒等算符。

現(xiàn)在開始系統(tǒng)的構(gòu)造。因?yàn)榍笆龅摹胺强偸强蓪σ仔?Nichtimmervertauschbarkeit)”，一個給定的算符不是唯一地對應(yīng)通常意義上的一個

q

k ,

p

k的函數(shù)，而是以明確的方式寫下的函數(shù)符號(Funktionssymbol)。此外，因?yàn)閷λ惴?/?

q

k我們只有加法和乘法，因此

q

k,

p

k的函數(shù)至少可寫成

p

k

的規(guī)則冪級數(shù)，這樣才可以用算符?/?

q

k替代

p

k。只需考慮冪級數(shù)中的一項(xiàng)，即對如下構(gòu)造的函數(shù)：

我們將之當(dāng)作良序的函數(shù)符號(Wohlgeordnete Funktionssymbole)，并分派如下的算符：

這意思是用算符

K

?/?

q

r 替代

p

r,

K

應(yīng)是個普適常數(shù)。將自良序函數(shù)

F

而來的算符簡記為[

F

, *]，[

F

u

]是將該算符作用到通常意義上的函數(shù)

u

q

1, …

q

n

)上所得的通常意義上的函數(shù)。若

G

是另一個良序函數(shù)，則[

GF

u

]是算符

GF

作用到函數(shù)

u

上。一般來說，函數(shù)[

GF

u

]與函數(shù)[

FG

u

]不同。

現(xiàn)在為一個良序函數(shù)

F

，通過其相應(yīng)的算符(B3)以及任意一個定義在整個

q

-空間上的完備正交集，分派一個矩陣。將坐標(biāo)

q

1, …

q

n

簡記為

。函數(shù)

是一個完備的、歸一的正交集，即有：

進(jìn)一步會假設(shè)，這些函數(shù)在

q

-空間的自然邊界上充分快地趨于0，這樣可以使得后面出現(xiàn)的分步積分過程中作為副產(chǎn)品出現(xiàn)的邊界積分為0。

函數(shù)

F

通過算符(B3)可被分派矩陣：

不難證明，良序函數(shù)及其對應(yīng)的算符的加與乘會造成所屬矩陣的矩陣和與矩陣積。記

G

為任一其他的良序函數(shù)：

在求積矩陣(

FG

) km 之前，先要對

F

kl定義里的[

F

, *]對函數(shù)

u

l(

)的作用通過一系列的分步積分加以轉(zhuǎn)圜(w?lzen)，變成對

u

k(

)的作用。此過程中作為副產(chǎn)品出現(xiàn)的邊界積分都為0。轉(zhuǎn)圜后的算符記為，以(B3)式為例，

其中

是微分的次數(shù)。這樣有：

最后一個等式用到的是正交集的完備性關(guān)系{原文(B8)式寫成了

略有不妥}。現(xiàn)在對(B8)中的算符[Fˉ,*]通過分步積分從ρ(x)uk(x)轉(zhuǎn)圜到[G,um(x)]上，得：

§3 海森堡量子條件與偏微分規(guī)則

因?yàn)?B1)式中的操作是恒等，故對應(yīng)良序函數(shù)：

根據(jù)分派規(guī)律，所得算符還應(yīng)乘上普適常數(shù)

K

。對應(yīng)(B10)的矩陣為

這就是海森堡量子關(guān)系{式(B12)的右側(cè)，薛定諤早在1922年就寫下了。注意，-1的意思是同時等于±i。參閱拙著《云端腳下》}。

當(dāng)然，如果給

q

l ，

p

l函數(shù)分派的矩陣為

也能得到關(guān)系(B11)。

現(xiàn)在轉(zhuǎn)向“偏微分規(guī)則”。一個良序函數(shù)對

q

l 的微分，是指不改變

q

l 出現(xiàn)的位置上的因子(Faktor)的順序?qū)?blockquote id="425UQ5LO">ql微分并求和。容易證明如下方程

成立。證明思路如下。代替實(shí)際對

q

l 微分，可以簡單地將

p

l 前置，其過渡到算符時反正要用代替。再者，當(dāng)將總算符{應(yīng)該是指

p

l

F

Fp

l}作用到函數(shù)

u

上時，算符不僅會作用到

F

q

l 的地方(這是應(yīng)該的)，而且也錯誤地作用到被總算符影響了的函數(shù)

u

上。這個錯誤我馬上糾正，把操作[

Fp

l, *]減去。

現(xiàn)在考察關(guān)于

p

l 的偏微分。設(shè)想將每一個

p

l 的 冪分解為單個因子，比如寫成

p

l

p

l

p

l 而非

p

l3 的形式，因此可以說對

p

l的 偏微分乃是將函數(shù)

F

中出現(xiàn)的每一個

p

l 抹掉一回，所得結(jié)果相加。那么 算符(B3)如何作用呢？每一個抹掉一次，結(jié)果相加。

我斷言如下算符方程成立：

在符號[

Fq

l , *]中將

q

l平推過

F

以得到[

q

l

F

, *]，每當(dāng)

q

l 遭遇到 時，在算符內(nèi)要用

{原文如此。應(yīng)是
}。

這個由“1”提供的交換副產(chǎn)品構(gòu)造了期待的“偏微商”(partiellen Differentialquotienten)。平推以后留下的[

q

l

F

, *]是多余的，在(B15)式中顯式地被減去了。這樣(B15)式就得到了證明。被當(dāng)作算符證明了的等式(B14)(B15)，也對分別對應(yīng)左側(cè)和右側(cè)的矩陣成立，因?yàn)楦鶕?jù)(B6)有且只有一個矩陣對應(yīng)一個線性算符(我們沒有證明，對于任一矩陣總存在一個線性算符)。

§4 海森堡運(yùn)動方程的解

現(xiàn)在考察一個由確定的哈密頓函數(shù)

所表征的特定的力學(xué)問題。量子力學(xué)的作者們{Die Authoren der Quantenmechanik，指玻恩、約當(dāng)、海森堡}從普通力學(xué)中移植了這個函數(shù)，當(dāng)然不是以“良序的”形式，因?yàn)樵诔Ｒ?guī)的數(shù)學(xué)分析中因子的順序無關(guān)緊要。他們?yōu)榱肆孔恿W(xué)的目的以確定的方式“規(guī)則化(normalisieren)”或者說“對稱化(symmetrisieren)”了因子，比如將普通的力學(xué)函數(shù)

q

k

p

k2用或者又或者代替，根據(jù)(B11)這都是一樣的。此函數(shù)可看作是良序的。一句話，良序函數(shù)應(yīng)該使得

H

ki是對角化的，對稱化的函數(shù)在其他方面與原來的函數(shù)相同。我們接下來會直接滿足這些要求。

玻恩他們要求矩陣
滿足一個稱為運(yùn)動方程的無窮方程組：

右側(cè)的偏微商的意義是解釋過了的。至于左側(cè)的，存在一個數(shù)列

賦予如下意義，給每個指標(biāo)為(

ik

)的矩陣元乘上，其滿足上述方程。特別地，

數(shù)列(B19)不是事先確定的，而是和
一樣是方程(B18)的未知數(shù)。考慮(B20)式，加上(B14)(B15)式里的計(jì)算規(guī)則，計(jì)及(B12)式，方程(B18)變成：

這些方程應(yīng)該被滿足，而我們也沒有其他可用的辦法，除了選擇合適的構(gòu)造矩陣的完備正交集。我{薛定諤}斷言：

(1)若如下偏微分方程

的自然邊界問題的本征函數(shù)被選作正交集，其中

q

1 ,

q

2, …

q

n的函數(shù)，

E

是本征值參數(shù)，方程(B18')可得到滿足。密度函數(shù)

)自然會出現(xiàn)在同式(B21)相乘使得其具有自伴隨性質(zhì)的

q

1,

q

2, …

q

n的函數(shù)中。量

i 就是本征值

E

i 除以

h

H

ik是對角矩陣，

H

kk=

E

k。

(2)若函數(shù)

H

的對稱化已以恰當(dāng)?shù)姆绞綄?shí)現(xiàn)了——我的觀點(diǎn)是，對稱化過程當(dāng)前未被唯一地定義——則(B21)式與作為波力學(xué)之基礎(chǔ)的波方程同。

如果暫且不理會如下的問題，即方程(B21)是否導(dǎo)致一個理性的

q

-空間上的邊界值問題，是否 總能通過同一個合適的函數(shù)的乘積弄成自伴隨的形式，等等，論斷1幾乎是顯然的。這些問題很大程度上在論斷2中解決了。根據(jù)方程(B21)以及本征值、本征函數(shù)的定義：

根據(jù)(B6)：

舉例來說，

這樣方程(B18')的第一個的右側(cè)的值為

第二個結(jié)果類似。這樣論斷1得到證明。

現(xiàn)在考察論斷2，即(恰當(dāng)對稱化了的)哈密頓函數(shù)的加負(fù)號的算符與波力學(xué)中的波算符是一致的。借助一個簡單的例子說明，為什么對稱化過程在我看來不是唯一的。設(shè)有單自由度的哈密頓函數(shù)：

這個函數(shù)可以直接當(dāng)作良序的納入量子力學(xué)，也可以應(yīng)用良序函數(shù)：

其中

f

q

)是邊界在遠(yuǎn)處的任意函數(shù)，在此情形可以當(dāng)作密度函數(shù)

)。(B26)式顯然是(B27)式的特例。那么問題來了，是否有可能以及如何將特例同一般的情形，即針對復(fù)雜哈密頓函數(shù)，區(qū)分開來。將問題限制在

q

k 的冪函數(shù)的情形，就在最重要的應(yīng)用情形中也不方便。此外，我相信，這不會導(dǎo)致正確的對稱化。

為了便于讀者理解，我以對于當(dāng)前目的合適的形式重復(fù)一遍波方程的簡短推導(dǎo)。為此只考慮經(jīng)典力學(xué)的情形(無相對論效應(yīng)，無磁場)。設(shè)想，

其中

T

p

k 的二次型，波方程可通過變分問題得到：

輔助條件為
，其中是

T

二次型的矩陣值(diskriminante)的平方根的倒數(shù)。這個因子不應(yīng)該忽略，因?yàn)榉駝t的話整個過程針對

q

k 的點(diǎn)變換不是不變的。

T

pk 表示

T

p

k

的微分，

歐拉的變分方程為

容易看出這個方程有形態(tài)(B21)，為此要記起算符排序規(guī)則以及對齊次方程的歐拉方程，將其應(yīng)用到二次型

T

上，且

將(B31)式左側(cè)的
用

p

k 代替，則從(B32)就得到了負(fù)哈密頓函數(shù)(B28)。由此變分過程就自動得到算符的唯一確定的對稱化，其將算符(直到一個因子)弄成自伴隨的，針對點(diǎn)變換是不變的。

這樣，整個的海森堡—玻恩—約當(dāng)?shù)木仃嚪匠叹蜌w結(jié)為一個線性偏微分方程的邊界值問題。求解了這個邊界值問題，就可以根據(jù)(B6)式通過微分與二次型構(gòu)造(Quadraturen)計(jì)算每一個感興趣的矩陣元。

為了解釋什么是自然邊界問題(構(gòu)型空間的自然邊界)，我以計(jì)算過的例子來說明。自然的無窮遠(yuǎn)邊界常常構(gòu)成微分方程的奇點(diǎn)，且唯一允許的是“保持有界的”的邊界條件。如果位置坐標(biāo)是人為地限制了的，比如處于一個“箱子”里的分子，此限制可以通過引入一個合適的勢能項(xiàng)來處理。本征函數(shù)在邊界上為0一般來說也是滿足的，即便在某些積分(B6)之間存在需要關(guān)注的關(guān)系(說的是開普勒問題中出現(xiàn)的矩陣元，根據(jù)海森堡其對應(yīng)從雙曲軌道到雙曲軌道的躍遷)。

我僅限于討論無磁場的經(jīng)典力學(xué)情形。關(guān)于涉及相對論—磁性的推廣時兩種新量子論也會表現(xiàn)出完全的平行，這一點(diǎn)毋庸置疑。

就2—4節(jié)中用到的形式工具，再泛泛地略評幾句。在所有公式中，作為基礎(chǔ)的正交集都是當(dāng)作完全分立的函數(shù)集看待的。在重要的應(yīng)用場景中可不是這樣的。不只是對于氫原子，而是對于高原子序數(shù)的原子波方程(B31)除了有線譜(Linienspektrum)以外還有連續(xù)本征值譜，后者會表現(xiàn)出挨著線系極限的連續(xù)光譜。本文的目的是說清楚兩種理論的關(guān)系，連續(xù)譜的出現(xiàn)不會帶來本質(zhì)上的改變。一個重要提醒：(我們的結(jié)論)不以根據(jù)本征函數(shù)的展開的收斂性為前提，但我們始終是這樣認(rèn)為的。對在有限值上(在系列的極限處)的分立本征值的聚集要特別注意，其與連續(xù)譜的出現(xiàn)緊密聯(lián)系。

§5 兩種理論的比較。對輻射之強(qiáng)度與偏振的經(jīng)典理解的預(yù)期

如果處于當(dāng)前形式的兩種理論是立得住的，意思是已證明是在復(fù)雜系統(tǒng)上的正確推廣，那么談?wù)撘徽邔α硪徽叩膬?yōu)越就只有表觀目標(biāo)(Scheinobjekt)。從純數(shù)學(xué)的角度看它們是完全等價的，只能談?wù)撚?jì)算方便性這種次要問題。

今天有不少的物理學(xué)家，如基爾霍夫和馬赫那樣，認(rèn)為物理理論的任務(wù)只是用盡可能簡約的數(shù)學(xué)描述可觀測量之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，這樣的描述盡可能不借助不可觀測的元素而再現(xiàn)關(guān)系。對于這樣的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)等價與物理等價幾乎是一回事兒。在前述情形中，最多可看到對矩陣表述的某種偏愛在于其因?yàn)橥耆姆侵庇^性而不會導(dǎo)致形成原子現(xiàn)象的空間—時間圖像，而這原則上可能是不可控的。在這個關(guān)系中，接下來的對等價性證明的補(bǔ)充無論如何是有益的：若確實(shí)存在等價，則其也存在于相反的方向(Die ?quivalenz besteht wirklich, sie besteht auch in umgehehrter Richtung)。不只是由本征函數(shù)構(gòu)造矩陣，而是反過來由數(shù)值給定的矩陣也能構(gòu)造本征函數(shù)。后者不是要為那個光禿禿的矩陣骨架構(gòu)建一個任意的、特別的、對直觀性需求友好的肉身(fleischliche Umkleidung des kahlen Matrizenskeletts)，事實(shí)上是為后者的認(rèn)識論上的被偏愛找理由。設(shè)想方程：

左側(cè)的數(shù)值已給定，要找出函數(shù)

u

i (

)(此處略去

)，假設(shè)

u

i(

)已構(gòu)成正交函數(shù)集)。通過矩陣乘積，為此要做分步積分，計(jì)算如下的積分：

其中

P

)是

q

l 的任意一個冪函數(shù)。固定

i

k

構(gòu)造這個積分的全體，稱為函數(shù)

u

i(

u

k(

)的矩(Momente)的全體。在一般性前提下，一個函數(shù)可由它的矩唯一地確定{但不具備可行性。這一點(diǎn)被批評者所詬病}。全部的積

u

i(

u

k(

)被唯一地確定，由此二次型

u

i(

)2以及

u

i(

)自身可唯一地被確定。唯一的任意性在于反過來密度函數(shù)

)的分離。這里不用擔(dān)心任何認(rèn)識論上的禁忌(keinen erkenntnistheoretischen faut pas)。

數(shù)學(xué)等價與物理等價具有相同的意義，此論斷絕對是在一定條件下才成立。比如，考慮帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的靜電能的兩種表達(dá)，作為空間積分
的以及關(guān)于導(dǎo)體上的求和的